Здравствуйте, Наталья Игоревна.
Помогаю.
пусть x-радиус полукруга. Тогда длина половины окружности равна 1/2*2πx=πx а длина противолежащей стороны прямоугольника равна 2x. Т.к. периметр окна равен p, на долю двух оставшихся сторон прямоугольника приходится p-(2x+πx)=p-x(2+π). т.е вторая сторона прямоугольника равна 1/2*(p-x(2+π))=p/2-1/2*x(2+π)
Площадь окна складывается из площади прямоугольника равной 2x*(p/2-1/2*x(2+π))=-(2+π)x²+px и площади полукруга, равной 1/2*πx², т.е S=S(x)=-(2+π)x²+px+1/2*πx²=-(2+π/2)x²+px
Окно будет пропускать наибольшее количество света, если площадь его будет максимальной.
Найдем максимум функции S(x)=-(2+π/2)x²+px
S'(x)=-2*(2+π/2)x+p=-(π+4)x+p
S'(x)=0 при x=p/(π+4)
В данной точке производная меняет знак с '+' на '-', а значит, функция S(x) достигает своего локального максимума.
При x= p/(π+4) стороны прямоугольника равны 2*p/(π+4) и p/2-1/2*(2+π)*p/(π+4)=p/2-(2+π)*(p/2)/(π+4)=(π*p/2+2p-π*p/2-p)/(π+4)=p/(π+4)
Т.е. окно будет пропускать наибольшее количество света, если стороны прямоугольника будут равны 2p/(π+4) (сторона напротив полукруга) и p/(π+4) (каждая из двух оставшихся сторон).
Все.
Рад был помочь!

Здравствуйте, Наталья Игоревна!

размеры прямоугольника a и 2*r
тогда верх окна = полукруг радиуса r (длина полуокружности pi*r)
периметр p=a+a+2*r+pi*r (1) (бок+бок+низ+верх)
Площадь окна S=a*2*r+pi*r^2/2 (2)

Т.о. нужно найти максимум функции S при p=const

выразим a из (1)
p=2*a+2*r+pi*r
a=1/2*(p-r*(2+pi))

Подставим a в (2)
S=1/2*(p-r*(2+pi))*2*r+pi*r^2/2=...=
=p*r-2*r^2-pi*r^2/2=p*r-(2+pi/2)*r^2

найдем масимум этой функции dS/dr=0
dS/dr=p-(2+pi/2)*2*r
p-(2+pi/2)*2*r=0
r=p/(4+pi)

теперь найдем a
a=1/2*(p-r*(2+pi))=
=1/2*( p-p/(4+pi)*(2+pi) )=
=p/(4+pi)

стороны прямоугольника равны
a=p/(4+pi) и 2r=2p/(4+pi)

S_max=1/2*p^2/(4+pi)