Здравствуйте, Djoni.

Решаем характеристическое уравнение: k² + 6k + 8 = 0, D = 6² – 4 ∙ 1 ∙ 8 = 4, √D = 2, k₁ = (-6 – 2)/2 = -4,
k₂ = (-6 + 2)/4 = -2.

Поскольку корнями характеристического уравнения являются действительные числа, то общее решение однородного уравнения
y” + 6y’ + 8y = 0 имеет вид y* = C₁e^-4x + C₂e^-2x.

Частное решение данного неоднородного уравнения, в соответствии с видом его правой части
(8x + 14 + 12e^-2x = e^0x(8x + 14) + 12e^-2x) и значениями корней характеристического уравнения, имеет вид
y** = e^0x(Ax + B) + Cxe^-2x = Ax + B + Cxe^-2x. Следовательно,
y**’ = A + Ce^-2x + (-2Cxe^-2x),
y**” = -2Ce^-2x + (-2C)(e^-2x + (-2xe^-2x)) = -2Ce^-2x – 2Ce^-2x + 4Cxe^-2x = -4Ce^-2x + 4Cxe^-2x.
Подставив три последних выражения в данное уравнение, получим
-4Ce^-2x + 4Cxe^-2x + 6(A + Ce^-2x + (-2Cxe^-2x)) + 8(Ax + B + Cxe^-2x) = 8x + 14 + 12e^-2x,
(4Ce^-2x – 12Ce^-2x + 8A + 8Ce^-2x)x + (6A + 8B) + (-4C + 6C)e^-2x = 8x + 14 + 12e^-2x,
8Ax + 6A + 8B – 2Ce^-2x = 8x + 14 + 12e^-2x,
8A = 8, 6A + 8B = 14, -2C = 12,
A = 1, B = 1, C = -6,
и частное решение данного уравнения суть
y** = x + 1 - 6xe^-2x.

Искомое общее решение является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного уравнения, то есть
y = y* + y** = C₁e^-4x + C₂e^-2x + x + 1 - 6xe^-2x.

Ответ: y = C₁e^-4x + C₂e^-2x + x + 1 - 6xe^-2x.

С уважением.