Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 165319
19.04.2009, 09:38
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Дорогие друзья!... Вот задача:
В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C равен 60 градусов, AC=14, BC=8. Боковые грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а ребро AD равно (4 корня из 3). Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым ВC и AD, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке C. Найдите объём второй пирамиды.
Всего доброго и удачи!

Обсуждение

давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18353
19.04.2009, 14:07
общий
это ответ
Здравствуйте, Тимофеев Дмитрий Николаевич!

Обозначим:
E - середина ребра BD;
F - точка пересечения сечения пирамиды DABC и ребра CD;
G - точка пересечения сечения пирамиды DABC и ребра AC;
H - точка пересечения сечения пирамиды DABC и ребра AB.

[img] http://rusfaq.ru/upload/1619[/img]

Поскольку сечение EFGH пирамиды DABC параллельно прямой BC по условию, то прямая GH его пересечения с треугольником ABC параллельна прямой BC. Факт же пересечения следует из того, что данное сечение параллельно по условию прямой AD.

Поскольку прямая AD, являющаяся линией пересечения плоскостей DAC и DAB (перпендикулярных треугольнику ABC), перпендикулярна треугольнику ABC, то и сечение EFGH перпендикулярно треугольнику ABC.

Точка H является проекцией точки E на ребро AB и, следовательно, серединой этого ребра. В силу того, что прямая GH параллельна прямой BC, точка G является серединой ребра AC. Аналогично, точка F является серединой ребра CD. Следовательно,
|GH| = |BC|/2 = 8/2 = 4,
|FG| = |AD|/2 = 4√3/2 = 2√3,
SEFGH = |FG| ∙ |GH| = 4 ∙ 2√3 = 8√3.

Высота пирамиды CEFGH равна
h = |CG| ∙ cos (90º - ∟ACB) = |AC|/2 ∙ cos 30º = 14/2 ∙ √3/2 = 7√3/2.

Находим искомый объем:
VCEFGH = 1/3 ∙ SEFGH ∙ h = 1/3 ∙ 8√3 ∙ 7√3/2 = 28.

Ответ: 28.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа