Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 160609
16.02.2009, 13:38
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Даны векторное поле F= (x + 7z)k и плоскость 2x+y+z-4= 0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V.
Пусть б - основание пирамиды, принадлежащее данной плоскости.
Г - контур, ограничивающий б.
n - нормаль к б, направленная вне пирамиды V.
Требуется вычислить:
1) Циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру Г по формуле СТОКСА.
2) Поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности, применив теорему Остроградского-Гаусса.

Обсуждение

Неизвестный
20.02.2009, 11:39
общий
это ответ
Здравствуйте, Кузьмичёв С С!
1) rot F=
|i............j...........k|
|d/dx...d/dy...d/dz|=i*d(x+7z)/dy+k*d(0)/dx+j*d(0)/dz-k*d(0)/dy-j*d(x+7z)/dx-i*d(0)/dz=-j
|0..........0.....x+7z|
В качестве поверхности S вформуле Стокса возьмем юоковую поверхность пирамиды V=OABC
О - начало координат (0, 0)
А - пересечение плоскости 2x+y+z-4= 0 с осью Ох (y=0, z=0): А(2, 0, 0)
В - пересечение плоскости 2x+y+z-4= 0 с осью Оу (х=0, z=0): В(0, 4, 0)
С - пересечение плоскости 2x+y+z-4= 0 с осью Оz (х=0, у=0): С(0, 0, 4)
S=SOCA+SOAB+SOBC
По формуле Стокса имеем
С=Int Int [rot F * dS],
dS=dydz*i+dxdz*j+dxdy*k,
(rot F * dS)=-dxdz
C=Int Int[S]-dxdz=-Int Int [SOCA]dxdz=-Int[0, 2][dx]Int[0, 4-2x][dz]=-Int[0, 2][(4-2x)dx]=- (4x-x2)[0, 2]=-(8-4)=-4

2) П=Int Int Int [V][(dP/dx+dQ/dy+dR/dz)dxdydz], dP/dx, dQ/dy, dR/dz - частные производные
dP/dx=d(0)/dx=0, dQ/dy=d(0)/dy=0, dR/dz=d(x+7z)/dz=7
Int Int Int [V][dxdydz] - объем прямоугольной пирамиды АВСО с основанием SOAB=1/2*2*4=4 и высотой равной 4, равен V=1/3*SOAB*H=1/3*4*4=16/3
П=Int Int Int [V][(0+0+7)dxdydz]=7*Int Int Int [V][dxdydz]=7*16/3=112/3
Форма ответа