Здравствуйте, Hellphoenix!

Здесь (http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme28/theory.asp) вы можете почитать теорию, а вот решение вашей задачи


1) grad z - это вектор, составленный из частных производных ф-ции z
grad z = {dz/dx,dz/dy}
Находим частные производные по каждой из переменных, считая при этом вторую константой (arcsin(t)' = 1/(корень(1-t^2):
dz/dx = [1/(корень(1-x^4/y^2)]*(2x/y)
dz/dy = [1/(корень(1-x^4/y^2)]*(x^2/(-y^2)

Подставляя x0 и y0, найдем значения частных производных в точке А:
dz/dx = 1/корень(1-1/4)*2*1/2 = 1/корень(3/4) = 1/(корень(3)/2) = 2/корень(3)
dz/dy = 1/корень(1-1/4)*1/(-4) = -1/(2корень(3))

Таким образом, в точке А(1;2) grad z = {2/корень(3),-1/(2корень(3))}


2) Производная по направлению представляет собой скалярное произведение единичного вектора l (составленного из направляющих косинусов заданного вектора) и вектора grad z с координатами {dz/dx,dz/dy}
Находим модуль вектора a: |a| = корень(5^2+(-12)^2) = корень(169) = 13
Значит нашем случае вектор l имеет координаты {5/13,-12/13}
вычисляем скалярное произведение grad z и l как сумму произведений соответствующих координат векторов
{2/корень(3),-1/(2корень(3))} * {5/13,-12/13} =
2/корень(3) * 5/13 + (-1/(2корень(3))) * (-12/13) = 10/(13корень(3))+6/(13корень(3) = 16/(13корень(3))
Т.е. производная функции z=arcsin(x^2/y) в точке A(1;2) по направлению вектора a(5;-12) равна 16/(13корень(3)) (Чтобы не было разночтений ответ это дробь, числитель = 16, знаменатель = 13 корней из 3 :)) .