Здравствуйте, Sheinman!
1) Чтобы представить число в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на √3-i
Z=1/((√3)+i))=(√3-i)/((√3+i)(√3-i))=(√3-i)/(3-i²)=(√3-i)/4=0,25√3-0,25i
Для выражения числа в тригонометрической форме рассчитаем его модуль
|Z|=√((0,25√3)²+0,25²)=0,25√4=0,5
У данного числа положительная действительная часть и отрицательная мнимая, поэтому его аргумент (угол между вектором комплексного числа и осью действительных чисел) принадлежит 4-му квадранту. Тангенс аргумента равен отношению коэфициента мнимиой части к действительной
tg arg(Z)=-0,25/(0,25√3)=-√3/3
arg(Z)=-π/6
тригонометрическая форма числа
Z=|Z|*(cos(arg(Z))+i*sin(arg(Z)))=0,5*(cos(-π/6)+i*sin(-π/6))

2) w³=-Z
извлечение корней из комплексных чисел проводят в тригонометрической форме
В тригонометрической форме потивоположное число -Z имеет такой же модуль, как и Z, но пртивоположное направление вектора (агумент отличается на π)
-Z=|Z|*(cos(arg(Z)+π)+i*sin(arg(Z)+π))=0,5*(cos(5π/6+2πk)+i*sin(5π/6+2πk))
(2πk играет роль при извлечении корней)
извлечём кубический корень
w=³√(-Z)=³√(|-Z|)*(cos(arg(Z)/3)+i*sin(arg(Z)/3))=1/(³√2)*(cos(5π/18+2πk/3)+i*sin(5π/18+2πk/3))
подставляя вместо k значения 0, 1 и -1 (при других значениях результат будет повторяться) получаем 3 корня
w₁=1/(³√2)*(cos(5π/18)+i*sin(5π/18))
w₂=1/(³√2)*(cos(17π/18)+i*sin(17π/18))
w₃=1/(³√2)*(cos(-7π/18)+i*sin(-7π/18))