Здравствуйте, миша казинин сергеевич!
Известно, что Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)=е^x имеет вид:
е^x = 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n! + R_n,
R_n = (xⁿ⁺¹/(n+1)!) * e^θn, где 0 < θ < 1
Отсюда получаем е^x = 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n!
Значения a=0,11 и b=0,14 принадлежат отрезку [0; 0.5], следовательно, 0< θx < 0.5 и е^θx < е^0.5 < 2;
Тогда R_n = (xⁿ⁺¹/(n+1)!) * e^θn < 2xⁿ⁺¹/(n+1)!.
При заданной погрешности α = 0.001 условие заведомо выполняется, если положим, что R_n < 10^-1α
Тогда (xⁿ⁺¹/(n+1)!) < 0.5 * 10^-1α
Т.о., будем накапливать суммы, пока очередной член не станет меньше, чем 0.5 * 10^-4
Итак, для a = 0.11 имеем:
u₀ = 1 = 1.0000,
u₁ = 0.11/1! = 0.1100,
u₂ = 0.11²/2! ≈ 0.0061,
u₃ = 0.11³/3! ≈ 0.0002,
u₄ = 0.11⁴/4! < 0.5 * 10^-4
e^a = e^0.11 ≈ 1.1163 ≈ 1.116
Аналогично, e^b = e^0.14 ≈ 1.1503 ≈ 1.15

Перед тем, как вичислить методом линейной интерполяции приближенное значение e^x0 = e^0.12,
вспомним, что геометрически это означает замену графика функции f(x) прямой,
проходящей через точки (a,f(a)) и (b,f(b)) для всех x из [a, b].
Уравнение такой прямой имеет вид: (y-f(a))/(f(b)-f(a)) = (x-a)/(b-a)
Отсюда f(x) ≈ y = f(a) + (f(b) - f(a))/(b-a) * (x - a)
Подставив значения: a = 0.11, b = 0.14, f(a) = 1.116, f(b) = 1.15, x = 0.12, получим
e^0.12 ≈ 1.116 + 0.034/0.03*0.01 ≈ 1.127