Здравствуйте, Каржицкий Сергей Аркадьевич!
y'=(x+3y-4)/(5x-y-4) - Дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному
Подстановка:
x=X+h
y=Y+k
y'=(X+h+3*(Y+k)-4)/(5*(X+h)-(Y+k)-4)=(X+3Y+h+3k-4)/(5X-Y+5h-k-4)
|1....3|=-1-15=-16 не равно нулю, значит существуют такие значения h, k, что h+3k-4=0 и 5h-k-4=0
|5...-1|
h=4-3k
5(4-3k)-k-4=0
20-15k-k-4=0
16k=16
k=1
h=4-3*1=1
y'=(X+3Y)/(5X-Y) однородное дифференциальное уравнение
Y=uX
Y'=uX'+u
u'X+u=(X+3uX)/(5X-uX)
u'X+u=(1+3u)/(5-u)
u'X=(1+3u)/(5-u) - u=(1+3u-5u+u²)/(5-u)
u'X=(1-2u+u²)/(5-u)
(5-u)du/(u-1)²=dx/x
Int[(5-u)du/(u-1)²]=Int[dx/x]
Int[(5-u)du/(u-1)²]=-Int[(u-5)du/(u-1)²]=-1/2*Int[(2u-10)du/(u-1)²]=-1/2*Int[(2u-2-8)du/(u-1)²]=
=-1/2*(Int[(2u-2)du/(1-2u+u²)-8Int[d(u-1)/(u-1)²])=-1/2*(Int[d(1-2u+u²)/(1-2u+u²)]+8*(u-1)^-1)+C=
=-1/2*ln(1-2u+u²)-4/(u-1)+C
-1/2*ln(1-2u+u²) - 4/(u-1)=ln(CX)
u=Y/X
-1/2*ln(1-2Y/X+(Y/X)²) - 4/(Y/X -1)=ln(CX)
X=x-h
Y=y-k
-1/2*ln(1-2(y-k)/(x-h)+((y-k)/(x-h))²) - 4/((y-k)/(x-h) -1)=ln(C(x-h))
h=1, k=1
-1/2*ln(1-2(y-1)/(x-1)+((y-1)/(x-1))²) - 4/((y-1)/(x-1) -1)=ln(C(x-1))