Здравствуйте, Ledan!
Решение:
Дано: Уравнение гармонического колебания: х = 5см*sin 2t = 0,05м*sin(2*t); (1)
F =+ 5 мН = 5*10^-3 H; П = Епот = 100*10^-6 = 10^-4 Дж. Из условия задачи вытекает, что движение точки протекает без начальной фазы, т. е. φ0 = 0.
Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на колеблющуюся материальную точку, равна: F =m*a, (2)
где m – масса точки, a – ускорение точки.
Найдем скорость точки как первую производную смещения по времени:
v = dx/dt = d(0,05м*sin(2*t))/dt = (0,05м*2/с)*cos(2*t) = (0,1м/с)*cos(2*t).
Ускорение точки найдем как первую производную скорости по времени:
а = dv/dt = d((0,1м/с)*cos(2*t))/dt = – (0,1м/с*2/с)*sin(2*t) = – (0,2м/с^2)*sin(2*t). (3)
Подставляя (3) в (2) получим: F = –m*0,2м/c^2*sin(2*t).
Затем, подставив числовое значение F, получим:
5*10^-3 = –m*0,2*sin(2*t). (4)
Потенциальная энергия колеблющейся точки: Епот = k*x^2/2, (5)
где k=m*ω^2 - коэффициент жесткости. Знак минус означает, что направление силы F противоположно смещению.
Подставляя выражение для k в формулу (5), получим для потенциальной энергии:
Епот = m*ω^2 *x^2/2 , где ω =2 с^-1 угловая скорость.
10^-4 Дж = (((m*4c^-2)*25*10^-4м^2*(sin(2*t))^2)/2.
Упростим, так как размерности сокращаются:
2*10^-4 = ((m*100*10^-4*(sin(2*t))^2. (6)
Разделим уравнение (4) на уравнение (6):
5*10^-3/2*10^-4 = –(m*0,2 м/c^2*sin(2*t))/ (((m*100*10^-4*(sin(2*t))^2).
Уберем знак минус (указывает направление действия силы) и упростим:
25 = (0,2)/(10^-2*(sin(2*t)).
Разрешим относительно sin(2*t) :
sin(2*t) = (20/25) = 0,8.
2*t = arc sin (0,8) = 53,13º.
t = 0, 46 c.
Ответ: 0,46 с.