Здравствуйте, Станислав!

Для решения задания можно идти следующим путем. Как известно, функция y = arctg x принимает значения -п/2 < y < п/2, однозначна и монотонно возрастает на интервале (-[$8734$]; +[$8734$]), причем положительным значениям x соответствуют положительные значения arctg x. Кроме того, эта функция нечетная.

При a = b, очевидно, заданное неравенство превращается в равенство.

Положим a > b. Тогда arctg a > arctg b, и заданное неравенство преобразуется к виду
(arctg a - arctg b)/(a - b) [$8804$] 1.

Поскольку (arctg x)' = 1/(1 + x²) < 1, то угол наклона касательной к графику функции y = arctg x при увеличении x от нуля до +[$8734$] асимптотически уменьшается от 45[$186$] до нуля. Следовательно, какую бы секущую, соединяющую точки с абсциссами a и b, к графику этой функции ни провести, угол ее наклона к оси абсцисс будет меньше угла наклона прямой y = x, равного 45[$186$], то есть
[$966$] = arctg ((arctg a - arctg b)/(a - b)) < 45[$186$],
(arctg a - arctg b)/(a - b) < 1,
arctg a - arctg b < a - b.

Это хорошо видно, если изобразить вместе графики функций y = x и y = arctg x, провести через точки A(a; 0) и B(b; 0) вертикальные отрезки до их пересечения с графиками указанных функций и сравнить длины этих отрезков с длиной отрезка AB.

В силу нечетности функций y = x и y = arctg x, указанное справедливо и для отрицательной полуоси.

Отсюда и вытекает справедливость заданного неравенства.

С уважением.