Здравствуйте, Ермакова Марина Юрьевна!

Вы можете посмотреть следующее

Решение.

1. Заданное уравнение можно решить алгебраически, используя формулы Кардано. Можно, однако,
применить численный метод решения.

Рассмотрим функцию f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1. Выполним отделение корней. Находим производную функции:
f‘(x) = 3x^2 + 4x + 3. Решая уравнение 3x^2 + 4x + 3 = 0, обнаруживаем, что оно не имеет действительных корней. Производная всюду положительна, а сама заданная функция монотонно возрастает на всей области определения. При этом заданная функция, очевидно, непрерывна. Поэтому для отделения корней производим перебор значений x:
- при x = 0 f(0) = 1 > 0,
- при x = -1 f(-1) = -1 + 2 - 3 + 1 = -1 < 0.

Воспользуемся теоремой, дающей критерий, позволяющий убедиться в том, что на рассматриваемом отрезке [a; b] имеется корень заданного уравнения и притом один. Эта теорема гласит: "Если на отрезке [a; b] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень уравнения f(x) = 0".

Уравнение x^3 + 2x^2 + 3x + 1= 0, согласно вышеприведенной теореме, на отрезке [-1; 0] имеет корень. В силу монотонности функции f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1 искомый корень является единственным действительным корнем.

Вычисляем приближенно значение корня методом половинного деления, задаваясь точностью eps = 0,01:
a = -1, b = 0,
уточненное значение корня c = (a + b)/2 = (-1 + 0)/2 = -0,5,
значение функции при x = -0,5 f(-0,5) = (-0,5)^3 + 2*(0.5)^2 + 3*(-0,5) + 1 = -0,125 + 0,5 - 1,5 + 1 = -0,125.

Так как f(-0,5) < 0, то берем новый отрезок [-0,5; 0] и повторяем вычисления:
a = -0,5, b = 0, c = (-0,5 + 0)/2 = -0,25,
f(-0,25) = (-0,25)^3 + 2*(-0,25)^2 + 3*(-0,25) + 1 = -0,016 + 0,063 - 0,75 + 1 = 0,297 > 0;

Берем новый отрезок [-0,5; -0,25] и повторяем вычисления:
a = -0,5, b = -0,25, c = (-0,5 + (-0,25))/2 = -0,375,
f(-0,375) = (-0,375)^3 + 2*(0,375)^2 + 3*(-0,375) + 1 = -0,053 + 0,141 - 1,125 + 1 = -0,037 < 0;

a = -0,375, b = -0,25, c = (-0,375 + (-0,25))/2 = -0,313,
f(-0,313) = (-0,313)^3 + 2*(-0,313)^2 + 3*(-0,313) + 1 = -0,031 + 0,196 - 0,939 + 1 = 0,226 > 0;

a = -0,375, b = -0,313, c = (-0,375 + (-0,313))/2 = -0,344,
f(-0,344) = (-0,344)^3 + 2*(-0,344)^2 + 3*(-0,344) + 1 = -0,041 + 0,237 - 1,032 + 1 = 0,164 > 0;

a = -0,375, b = -0,344, c = (-0,375 + (-0,344))/2 = -0,360,
f(-0,360) = (-0,360)^3 + 2*(-0,360)^2 + 3*(-0,360) + 1 = -0,047 + 0,259 - 1,080 + 1 = 0,132 > 0;

a = -0,375, b = -0,360, c = (-0,375 + (-0,360))/2 = -0,368,
f(-0,368) =(-0,368)^3 + 2*(-0,368)^2 + 3*(-0,368) + 1 = -0,050 + 0,271 - 1,104 + 1 = 0,117 > 0.

Так как уточненный отрезок суть [-0,375; -0,368], и b - a = -0,368 - (-0,375) = 0,007 < eps = 0,01, то прекращаем вычисления. В качестве значения корня выберем последнее значение точки c, то есть после округления положим значение корня заданного уравнения равным x = -0,37.

2. Рассмотрим функцию f(x) = 2^x + x - 7. Ее производная f‘(x) = (2^x)*ln 2 + 3 всюду положительна, а сама функция непрерывна и монотонно возрастает на всей области определения. Для отделения корней производим перебор значений x:
- при x = 0 f(0) = 2^0 + 0 - 7 = 1 - 7 = -6 < 0,
- при x = 1 f(1) = 2^1 + 1 - 7 = 3 - 7 = -4 < 0,
- при x = 2 f(2) = 2^2 + 2 - 7 = 4 - 7 = -3 < 0,
- при x = 3 f(3) = 2^3 + 3 - 7 = 4 > 0.

Согласно теореме, указанной в решении задачи 1, уравнение 2^x + x - 7 = 0, равносильное заданному уравнению, на отрезке [2; 3] имеет корень, являющийся его единственным корнем. Вычисляем приближенно его значение

с заданной точностью eps <= 0,0001. Используем метод половинного деления:

a = 2, b = 3, c = (a + b)/2 = (2 + 3)/2 = 2,5,
f(2,5) = 2^2,5 + 2,5 - 7 = 5,65685 + 2,5 - 7 = 1,1569 > 0;

a = 2, b = 2,5, c = (2 + 2,5)/2 = 2,25,
f(2,25) = 2^2,25 + 2,25 - 7 = 4,75683 + 2,25 - 7 = 0,00683 > 0;

a = 2, b = 2,25, c = (2 + 2,25)/2 = 2,125,
f(2,125) = 2^2,125 + 2,125 - 7 = -0,51297 < 0;

a = 2,125, b = 2,25, c = (2,125 + 2,25)/2 = 2,1875,
f(2,1875) = 2^2,1875 + 2,1875 - 7 = -0,25735 < 0;

a = 2,1875, b = 2,25, c = (2,1875 + 2,25)/2 = 2,21875,
f(2,21875) = 2^2,21875 + 2,21875 - 7 = - 0,12635 < 0;

a = 2,21875, b = 2,25, c = (2,21875 + 2,25)/2 = 2,23438,
f(2,23438) = 2^2,23438 + 2,23438 - 7 = 4,70560 + 2,23438 - 7 = - 0,06002 < 0;

a = 2,23468, b = 2,25, c = (2,23468 + 2,25)/2 = 2,24234,
f(2,24234) = 2^2,24234 + 2,24234 - 7 = -0,02602 < 0;

a = 2,24234, b = 2,25, c = (2,24234 + 2,25)/2 = 2,24617,
f(2,24617) = 2^2,24617 + 2,24617 - 7 = -0,00961 < 0;

a = 2,24617, b = 2,25, c = (2,24617 + 2,25)/2 = 2,24809,
f(2,24809) = 2^2,24809 + 2,24809 - 7 = -0,00137 < 0;

a = 2,24809, b = 2,25, c = (2,24809 + 2,25)/2 = 2,24905,
f(2,2490) = 2^2,24905 + 2,24905 - 7 = 0,00274 > 0;

a = 2,24809, b = 2,24905, c = (2,24809 + 2,24905)/2 = 2,24857,
f(2,24857) = 2^2,24857 + 2,24857 - 7 = 0,00069 > 0;

a = 2,24809, b = 2,24857, c = (2,24809 + 2,24857)/2 = 2,24833,
f(2,24833) = 2^2,24833 + 2,24833 - 7 = -0,00034 < 0;

a = 2,24833, b = 2,24857, c = (2,24833 + 2,24857)/2 = 2,24845,
f(2,24845) = 2^2,24845 + 2,24845 - 7 = 0,00017 > 0;

a = 2,24833, b = 2,24845, c = (2,24833 + 2,24845)/2 = 2,24840,
f(2,24840) = 2^2,24840 + 2,24840 - 7 = -4*10^(-5) < 0.

Так как уточненный отрезок суть [2,24840; 2,24845], и b - a = 2,24845 - 2,24840 = 0,00005 < epa = 0,0001, то прекращаем вычисления. В качестве значения корня выберем последнее значение точки c, то есть после округления положим значение корня заданного уравнения равным x = 2,2484.

С уважением.