Здравствуйте, Чурнов Роман Александрович!
1)Первоначально запишем закон Гука mg=k∆l
затем запишем закон сохранению энергии mgh=k(∆x)^2/2
∆x=sqrt(2∆lh)=22mm

Здравствуйте, Чурнов Роман Александрович!

1. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сжимается на ∆l = 3 мм.
На сколько сожмёт пружину тот же груз, упавший на неё конец с высоты h = 8 см.?

В равновесии m*g = k*∆l. Откуда k = m*g/∆l
В момент максимального сжатия вся гравитационная потенциальная энергия m*g*(h + x) перейдёт в потенциальную энергию пружины k*x^2/2.
m*g*(h + x) = k*x^2/2 = m*g/∆l*x^2/2
h + x= x^2/(2*∆l)
x^2 - 2*∆l*x - 2*∆l*h = 0
x = ∆l + sqrt(∆l^2 + 2*∆l*h) = 25 мм

2. Деревянный стержень массой m = 1 кг, и длинной l = 0,4 м. может вращаться около оси, проходящей через его середину
перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой 0,01 кг, летящая перпендикулярно стержню со скоростью 200 м/с.
Сколько оборотов в секунду будет делать стержень, если пуля застрянет в нём?

Так как на систему стержень-пуля не действует крутящий момент внешних сил, то будет выполняться закон сохранения момента импульса:
J1*w1 = (J1 + J2)*w2
J1 = m*(L/2)^2 = 1/4*m*L^2 - момент инерции пули относительно оси вращения, m - масса пули, L/2 - расстояние от пули до оси вращения
J2 = 1/12*M*L^2 - момент инерции стержня относительно его середины.
w1 = v/(L/2) = 2*v/L - угловая скорость пули относительно оси в момент удара
w2 = w1*J1/(J1 + J2) = 2*v/L*1/4*m*L^2/(1/12*M*L^2 + 1/4*m*L^2) = (v/L)*6*m/(M + 3*m) = (200/0,4)*6*0,01/(1 + 0,03) = 30 рад/сек = 4,8 оборота/сек