Помогите правильно составить интеграл.

Задача:

по тонкому стержню длиной L равномерно распределен заряд Q.
Стержень вращается с частотой n относительно оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через стержень на расстоянии a = L/3 от одного из его концов.
Определить магнитный момент Pm, обусловленный вращением стержня.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Мои размышления:

магнитный момент такого вращения можно рассмотреть как суперпозицию
магнитных моментов двух стержней (pm1 и pm2), вращение каждого из которых происходит
относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень
на его конце. Ось вращения заданного стержня на расстоянии a = L/3 будет осью
вращения на расстоянии 0 для каждого из составных стержней. А так как
ось вращения у составных стержней будет общей, то векторы ↑pm1 и ↑pm2 (вектор обозначим ↑)
лежат на одной пространственной прямой . Направления вращения составных стержней совпадают,
значит одинаковыми будут направления круговых токов и ↑pm1 и ↑pm2 будут одинаково направлены
(↑pm = i*S*↑n i - круговой ток; S - площадь, обтекаемая током; ↑n - единичный вектор нормали).
Направление нормали к плоскости вращения выберем совпадающим с направлением ↑Pm. Тогда
|Pm| (модуль) будет равен:

|↑Pm| = |↑pm1| + |↑pm2|

Найдем выражение для определения pm, рассматривая вращение стержня, ось вращения которого
перпендикулярна стержню и проходит через его конец.

Весь заряд стержня можно рассматривать как сумму элементарных зарядов, тогда
магнитный момент вращения стержня будет равен интегральной сумме элементарных
магнитных моментов вращения.

pm = [0;r] ∫dpm

[0;r] ∫dpm = [0;r] ∫d(i*S)

Заряд равномерно распределен по стержню, это значит, что величина элементарного заряда
в любой точке стержня постоянна; dq/dl = 0;
величина элементарного кругового тока:
i = q*n q - элементарный заряд, n - частота вращения;
тогда на всей длине стержня i = const.

[0;r] ∫d(i*S) = [0;r] ∫i*dS = [0;r] i*∫dS = [0;r] i*∫d(Pi*r^2) = [0;r] i*∫Pi*2*r*dr = [0;r] 2*Pi*i*∫r*dr = [0;r] 2*Pi*q*n*∫r*dr

∫r*dr - табличный, а вот как q найти не знаю. Из условия задачи известна длина стержня L и его равномерно
распределенный заряд Q; можно определить заряд на единице длины: ∆q = Q/L и записать интеграл иначе
(не выносить элементарный круговой ток из интеграла).

[0;r] ∫i*dS = [0;r] ∫i*d(Pi*r^2) = [0;r] ∫i*Pi*2*r*dr = [0;r] 2*Pi*∫i*r*dr = [0;r] 2*Pi*∫q*n*r*dr = [0;r] 2*Pi*n*∫q*r*dr

q - элементарный заряд, т.е. заряд на элементарной длине dl, значит q = ∆q*dl = Q/L*dl

[0;r] 2*Pi*n*∫q*r*dr = [0;r] 2*Pi*n*∫Q/L*dl*r*dr = [0;r] 2*Pi*n*Q/L*∫dl*r*dr

dl = dr

[0;r] 2*Pi*n*Q/L*∫dl*r*dr = [0;r] 2*Pi*n*Q/L*∫r*dr*dr = [0;r] 2*Pi*n*Q/L*∫r*(dr)^2

а так дифференциал получается в квадрате и корявый интеграл.