Здравствуйте, Айболит!
V=H*S_осн/3
Т.к. R²=L²-H²,
то,
V=H*pi*(L²-H²)/3
=>, надо искать max(V) или max(H*(L²-H²))
K=H*(L²-H²)
K‘ = L²-3*H²
K‘=0
H=L/√3
R=√2*L/√3
Проверьте пожалуйста выкладки.
Удачи!

Привет, Айболит.
Объём конуса вычисляется, например, по такой формуле:
V = (1/3) ∙ pi ∙ R^2 ∙ h ,
где R - радиус основания, h - высота конуса. Кстати, можно заметить, что эта формула соответствует формуле для вычисления объёма произвольной пирамиды: объём пирамиды равен трети произведения основания на высоту.
При заданной образующей радиус основания и высота связаны взаимно однозначно:
R^2 + h^2 = I^2 (теорема Пифагора).
Значит объём можно представить как функцию либо только радиуса основания, либо только высоты. К примеру, второй вариант:
V = (1/3) ∙ pi ∙ h ∙ (I^2 - h^2).
Теперь с помощью производной можно найти h, соответствующую максимальному объёму. Вместе с h определится и R, как написано выше.

Здравствуйте, Айболит!
Текст вопроса: Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с образующей L, чтобы объём конуса был наибольшим ? Отправитель: Айболит. Вопрос отправлен: 19.03.2007, 17:39

Элементарно. Объём конуса: V = Pi/3*H*R^2, или 3*V/Pi = H*R^2 (1).
По Пифагору: L^2 = R^2 + H^2, откуда R^2 = L^2 - H^2 (2).
Подставляем (2) в (1): 3*V/Pi = H*(L^2 - H^2) = H*L^2 - H^3 (3).
Берём производную от (3) и приравниваем нулю: L^2 – 3*H^2 = 0,
откуда H^2 = L^2/3, а H = L/SQRT(3).
Радиус основания равен: R = SQRT(L^2 - H^2), или
R = SQRT(L^2 - L^2/3) = L*SQRT(1 - 1/3) = L*SQRT(2/3).
Отношение высоты к радиусу: H/R = SQRT((1/3)/(2/3)) = SQRT(1/2)
т.е. высота меньше радиуса в (корень из 2-х) раз.