Чтобы вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями y = sin(x) , X₀ = 0 , Y₀ = 1 , вокруг оси Oy, можно представить горку блинчиков толщиной dy каждый, лежащих друг на друге. Объём одного блинчика равен площади круга
S(y) = [$960$]·R² , умноженной на толщину dy , то есть dV = [$960$]·R²·dy ,
где R(y) = arcsin(y) - радиус каждого блинчика.

Объём всей слоёной горки равен V = _X0^Y0[$8747$]dV = ₀¹[$8747$][$960$]·R²·dy = [$960$]·₀¹[$8747$][arcsin(y)]²·dy - мы получили ту же самую формулу, что Вам предложил Ваш преподаватель.
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с формулами и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: Объём тела вращения равен [$960$]·([$960$]²/4 - 2) [$8776$] 1,47 ед³
.
Для проверки представим простенькую фигуру, похожую на наше тело, но чтоб объём её можно было легко вычислить по школьной формуле, например перевёрнутый конус высотой H = Y₀ = 1, а радиусом R = 1,2 .
Объём такого конуса равен V_k = (1/3)·[$960$]·R²·H [$8776$] 1,51
Объём конуса примерно равен объёму тела вращения, относительная погрешность менее 3%. Значит, проверка успешна.

Интеграл [$8747$][arcsin(y)]²·dy НЕ есть "табличный", и возможно преподаватель запросит Вас вычислить этого монстра пошагово. Пошаговое вычисление можно посмотреть на странице "OnlineКалькулятор Интегралов" Ссылка2 . Полезно также почитать учебную статью "Интегрирование по частям. Примеры решений" Ссылка3 , где цитирую: "По частям берутся интегралы следующих видов (список): … обратные тригонометрические функции (арки) и арки, умноженные на к-нибудь многочлен".