Условие: Диагонали вписанного 4х-угольника ABCD пересекаются в точке O. Окружности, вписанные в треугольники AOB и COD, касаются прямых AC и BD в точках P, Q, R, S.
Надо выбрать все верные утверждения из перечня: PQ параллельно AB , PQ параллельно CD ,
PQ параллельно RS , PR параллельно BC , PR параллельно QS , PR параллельно AD .

Решение: В приложенном к Условию чертеже 4х-угольник ABCD очень похож на прямоугольник, в котором противоположные стороны параллельны. Если в этой фигуре чертить ещё и вписанные окружности, то параллельных отрезков получится намного больше, чем правильных ответов для НЕ-прямоугольного 4х-угольника ABCD. Чтобы избавиться от скурпулёзного анализа параллельности, я начертил другой 4х-угольник ABCD, явно-перекошенный, который при этом вполне удовлетворяет всем пунктам Условия задачи. В таком 4х-угольнике НЕпараллельные пары прямых сразу видны!


Я поместил вершину "A" 4х-угольника ABCD в начало координатной плоскости xOy , а центр описанной окружности в точку (5 ; 0). Я сделал вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с исправленным чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ключевое слово solve,x означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x .
ВзаимоПараллельность запрошенных пар прямых мы получаем сравнением угловых коэффициентов этих прямых.

Ответ: Верные утверждения: PQ параллельно RS (Kpq = Krs = 11,09),
PR параллельно BC (Kpr = Kbc = 0,143),

В прочих утверждениях PQ НЕ параллельно AB (Угловой коэффициент Kpq = 11,09 [$8800$] Kab = 3),
PQ НЕ параллельно CD (Kpq = 11,09 [$8800$] Kcd = -7),
PR НЕ параллельно QS (Kpr = 0,143 [$8800$] Kqs = -0,333),
PR НЕ параллельно AD (Kpr = 0,143 [$8800$] Kad = -0,333)

Получив проверенные ответы, Вы можете не тратить время на выбор верных утверждений и анализ неверных утверждений.
Всего 2 верных утверждений Вы можете доказывать преподавателю НЕ используя Маткад. Например: параллельность прямых PQ и RS вытекает из подобия треугольников OPQ и ORS, в которых стороны OP = OQ , OR = OS , как касательные к своим окружностям E и J . То есть , SQPR - это равнобокая трапеция с параллельными основаниями RS || PQ . =Удачи!