Вы знаете, какую формулу нужно использовать для решения задачи?

Я думаю вот эту:

Сначала надо не полениться начертить графики функций y = x², y=x (хотя бы схематично) и заштриховать проекцию фигуры, ограниченную этими графиками на плоскости XOY. Затем представить тело вращения. А уж затем выбирать варианты путей обхода тела для наиболее простого интегрирования.
Очень полезная статья по Вашей теме "Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?" Ссылка

Да, нужно использовать эту формулу. Но чтобы её использовать, нужно определить пределы интегрирования и У Вас есть идеи, как это сделать?

Если Вам совсем неохота размышлять, то воспользуйтесь советом уважаемого Владимира Николаевича:

Сначала надо не полениться начертить графики функций y = x², y=x (хотя бы схематично) и заштриховать проекцию фигуры, ограниченную этими графиками на плоскости XOY. Затем представить тело вращения. А уж затем выбирать варианты путей обхода тела для наиболее простого интегрирования.

Вы писали в своём Ответе "Для вычисления… нет надобности использовать математические пакеты" - это справедливо т-ко для молодых гениев типа Михаил Александров или Roman Chaplinsky, в Ответах которых я ни разу не замечал ошибок. Мы с Вами уже не можем решать задачи с достаточно мизерной вероятностью ошибок. И поэтому для меня Маткад - единственное средство, позволяющее продлить свою мозговую активность, о чём я не устаю пояснять "Маткад избавляет меня от частых ошибок". Это как соломинка для утопающего.

"Изучение курса математики в вузе предполагает усвоение проведения таких расчётов вручную" - Вы всё правильно пишете, но это лишь констатация факта. А чтобы из этого факта сделать для себя правильный вывод, я советую всем экспертам Портала не идти на поводу у отсталых пост-советских преподов-самодуров, кот-е отупляют студентов изнуряющими расчётами вместо развития у них творческого мышления.

Да ну их в жопу, этих преподов, подумайте о себе, Андрей Владимирович! Мы с Вами отлично знаем, что главная ценность экспертов - это придумать идею, алгоритм решения задачи или другой (производственной, технической…) проблемы. На хороших фирмах, где мне посчастливилось работать, главного спеца уважали т-ко за то, что он умел собрать все исходные данные проблемы, сопоставить все причинно-следственные связи и выдать идею по её решению. Рядовые инженеры/техники доделывали всю рутину сами и радовались общему Успеху.

Я в процессе решения задач настолько устаю, что уже не в состоянии закончить последнюю стадию - вычисления - без ошибок. Вы тоже всё чаще упоминаете о старческом слабоумии ("Альцгеймер", "пора на покой")… Так почему не переложить черновую работу по вычислениям и графо-построению на специально-разработанный Маткад? Этот восхитительный инструм очень удобен, он заменяет корявый РедакторФормул rfpro-сервера (в кот-м нет даже нормального знака умножения) и никогда не ошибается в вычислениях! Маткад даёт возможность старикам продлить активное творчество на много лет, избавляя нас от ощущений одиночества и собственной ненужности! Работа в Маткаде гораздо приятнее, чем пить коньяк с соседом, уйдя на покой изза трудностей вычислений вручную без ошибок! =сУважением!

Владимир Николаевич! Я не против использования математических пакетов, но я против замены ими даже минимального умения интегрировать вручную.

Значит, Вы ещё молоды, энергичны и слишком редко ошибаетесь, чтобы прочувствовать явную нужду в вычислителе-помощнике. У Вас ещё всё впереди!
Я мог бы легко скопировать интегралы из Маткада в Формул-тэги, но в тэг-наборе нет нормального знака скалярного умножения, а заменять его нижними точками (как Вы) - не шокирует т-ко Вас. Вы привыкли к плохому, Андрей Владимирович. Александров заменяет умножени-символы на косые Б кресты - это меньше коробит.

Владимир Николаевич! Я использую онлайн-калькуляторы для проверки своих ручных расчётов при необходимости. MathCAD'ом я не пользуюсь, потому что не умею. Использую точку как символ умножения в силу своих эстетических соображений. Я надеюсь, что Вы простите мне несовпадение моих представлений и Ваших с Александровым.

Умение интегрировать вручную очень полезно и математикам, и инженерам-разработчикам - я полностью согласен с Вами, Андрей Владимирович! Я даже коллекционирую примеры изящных приёмов интегрирования НЕтабличных интегралов.

Я публикую Маткад-скрины вместо привычных Вам формул по 2м причинам :
1) Формул-тэги rfpro-сервера не содержат нормального знака скалярного умножения.
2) Поиск по фразам в старых консультациях на rfpro-сервере происходит долго и почти всегда безуспешно. Поэтому я сохраняю консультаци-копии, очищеные от JavaScript и реклам, в мини-htm-файлики. Ваши Ответы содержат десятки формул-тэгов, кот-е сервер конвертирует в кучу отдельных мини-картинок, занимающих 4 кБ каждая на жёстком диске. А мой Маткад-скрин - это всего 1 компактная картинка.

Не нужно сохранять мои ответы: они не заслуживают этого.

Называть друг друга по имени и отчеству, а другого человека - по фамилии, как-то обидно

Уважаемый Михаил, перспективный препод хабаровской академии экономики (где я работал в 2003) ездил в Америку на стажировку, и затем по возвращении в Россию делился опытом и прочёл нам полезную лекцию о культуре общения в электронной переписке. Согласно правилам цивилизованных стран, в каждом письме / сообщении надо хотя бы 1 раз обратиться к собеседнику по имени (отчеству) либо по его должности. При упоминании третьих лиц допустимо употреблять их ник либо недвусмысленное сокращение.

Согласно этим правилам мы с Андреем называли друг друга полностью, а Вас, как 3е лицо упомянули немного сокращённо. При обращении лично к Вам мы будем и к Вам обращаться по имени (и отчеству, если сообщите его).
Наш Управляющий упоминает нас в третьих лицах как АВН и ГАВ, на производстве меня часто называли по фамилии… Такая уж традиция в СНГ, это считается нормой. Не обижайтесь, пожалуйста.

Я готов называть Вас полностью. Сообщите, пожалуйста, своё отчество.