Дано уравнение кривой второго порядка : 7·x
2 - 8·y
2 + 8·x·y - 2·x + 40·y = 43 .
Привести уравнение кривой к каноническому виду, и Вычислить координаты фокусов в исходной системе координат.
Решение : Преобразуем немного уравнение кривой в вид 7·x
2 + 8·x·y - 8·y
2 - 2·x + 40·y - 43 = 0 согласно стандартному шаблону
A·x
2 + 2·B·x·y + C·y
2 + 2·D·x + 2·E·y + F = 0 , разработанному для решения задач аналитической геометрии.
Выберем коэффициенты A = 7 , B = 4 , C = -8 , D = -1 , E = 20 , D = -43 .
Работаем по методике, описанной в статье "
Как привести уравнени линии второго порядка к каноническому виду?"
ссылка1 )
Чтоб выяснить тип кривой, вычисляем определитель [$948$] = -72 (формулы и чертёж линии прилагаю ниже). Тк [$948$] [$8800$] 0 , значит наша линия входит в группу Центральных линий 2го порядка (эллипс, гипербола, …), и для решения предпочтительнее использовать Метод инвариантов.
Составляем систему из 3х уравнений, решаем её и получаем 2 группы корней для коэффициентов. При переходе из исходной системы координат xOy к новой системе координат uOv мы избавились от проблемного коэффициента B , а коэффициенты A , C , F заменены на соответствующие A2 , C2 , F2 .
Первая группа корней A2 = -9 ; C2 = 8 ; F2 = -2 даёт нам гиперболу -9·x
2 + 8·y
2 - 2 = 0 .
Стандартизуем её вид: -9·x
2 + 8·y
2 = 2 ==> -9·x
2 / 2 + 4·y
2 = 1 ==> y
2 / (1/4) - x
2 / (2/9) = 1 - что НЕ есть Канонический тип, и, значит, противоречит Условию задачи.
Вторая тройка корней A2 = 8 ; C2 = -9 ; F2 = -2 даёт нам гиперболу 8·x
2 - 9·y
2 - 2 = 0 , кот-ю удаётся преобразовать в Канонический вид:
4·x
2 - 9·y
2 / 2 = 1 ==> x
2 / (1/2)
2 - y
2 / (2/9) = 1 , что соответствует полуосям a = 1/2 и b = [$8730$]2 / 3 .
Чтоб не запутаться в 2х системах координат, заменим имена осей новой системы на u , v и запишем уравнение канонической гиперболы в виде
u
2 / a
2 - v
2 / b
2 = 1
Решение второй системы уравнений даёт нам координаты центра новой системы uO
2v относительно старой системы xOy :
O
2 = (-1 ; 2)
Решение, его проверка и графо-построение выполнены в приложении
Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ : u
2 / (1/4) - v
2 / (2/9) = 1 - каноническая гипербола с полуосями a = 1/2 , b = [$8730$]2 / 3 в системе координат uO
2v
с началом в точке O
2(-1 ; 2) (координаты старой системы), повёрнутой относительно исходной системы координат на угол [$945$] = 14° .
Координаты фокусов в исходной системе координат равны (-5/3 ; 11/6) и (-1/3 ; 13/6) .