Здравствуйте, bugarz!

Пусть требуется определить базис пространства решений системы уравнений которая задана матрицей

Поставленная задача заключается в представлении в векторной форме решения системы уравнений

с помощью фундаментальной системы.

Используя метод Гаусса, приведём матрицу к ступенчатому виду. Чтобы избежать действий с дробями, сознательно увеличим количество действий. Сначала все строки системы приведём к такому виду, при котором их первые элементы одинаковы. Получим такую матрицу, эквивалентную матрице


Вычитая из каждой строки последней матрицы, начиная со второй, первую строку, получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Последнюю матрицу приведём к такому виду, при котором вторые элементы второй, третьей и пятой строк одинаковы. При этом получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Вычитая из третьей и пятой строк последней матрицы вторую строку, получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Разделив в последней матрице каждый элемент третьей и пятой строк на получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Приведём последнюю матрицу к такому виду, при котором третьи элементы третьей, четвёртой и пятой строк одинаковы. При этом получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Вычитая из четвёртой и пятой строк последней матрицы третью строку, получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Разделив в последней матрице каждый элемент четвёртой строки на а каждый элемент пятой строки на получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Вычитая из пятой строки последней матрицы четвёртую строку, получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


Разделим в последней матрице элементы первой строки на элементы второй строки -- на элементы третьей строки -- на элементы пятой строки на получим следующую матрицу, эквивалентную матрице


В результате получили матрицу, ранг которой равен пяти и равен количеству неизвестных переменных. Эта матрица задаёт следующую систему уравнений:

Эта система уравнений эквивалентна исходной, то есть обе системы имеют только одно решение -- тривиальное, или нулевое, которое можно записать в виде вектора (матрицы-столбца)

Это значит, что решение системы имеет такой вид: