Здравствуйте, ovchar0232!

Рассмотрим сначала последовательность Докажем, что она является бесконечно малой последовательностью, то есть Согласно определению предела последовательности, нужно для любого числа установить номер начиная с которого выполняется неравенство Последнее неравенство равносильно неравенству которое выполняется при то есть в качестве искомого номера можно взять Действительно, пусть Тогда

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь последовательность где -- последовательность, которая имеет предел (конечный или бесконечный). Если этот предел конечный, то есть -- сходящаяся последовательность, то она ограничена, а -- произведение ограниченной и бесконечно малой последовательностей -- бесконечно малая последовательность (её предел существует и равен нулю). Если же предел последовательности бесконечный (последовательность является бесконечно большой), то последовательность тоже бесконечно большая как произведение бесконечно большой последовательности и последовательности которая удовлетворяет условию В обоих случаях последовательность имеет предел (конечный или бесконечный).

Литература
Альсевич. Л. А. Математический анализ. Последовательности и функции: практикум: учебное пособие / Л. А. Альсевич, С. Г. Красовский, А. Ф. Наумович. -- Минск: Вышэйшая школа, 2019. -- 327 с.