Здравствуйте, vladislav.makeev88!
Условие : Плоская фигура, ограниченная линиями y1(x) = 3 - x
2 и y2(x) = 1 + x
2, вращается вокруг оси абсцисс.
Вычислить объём тела вращения.
Решение: Чертим обе линии на координатной плоскости xOy . Решая уравнение
y1(x) - y2(x) = 0 , находим абсциссы X1 = -1 и X2 = 1 точек пересечения заданных линий.
Жёлтой заливкой я показал сечение тороида (бублика), который получается при вращении площадки м-ду линиями вокруг оси Ox .
Чтоб найти объём тороида, представим этот объём как набор круглых шайбочек бесконечно-малой тощины dx , нанизанных на ось Ox на интервале от X1 до X2 .
Одна из шайбочек показана розовой заливкой. Центр шайбочки - ось Ox , внешний диаметр = R , внутренний диаметр = r .
Причём, R = y1(x) ; r = y2(x)
Площадь шайбочки S - это разность площадей кругов с диаметрами R и r :
S = [$960$]·R
2 - [$960$]·r
2Объём одной шайбочки - dV = S·dx
Искомый объём тела вычисляем как интеграл - суммарный объём всех шайбочек.
График, формулы и вычисления, выполненные в приложении Маткад
(ссылка) прилагаю ниже.
Маткад мигом выдаёт численный результат. Мне пришлось тормозить вычислитель, чтоб добавить на скриншот пошаговые действия и подробные поясняющие комментарии. Надеюсь, Вы сможете понять всю последовательность.
Ответ : объём тела вращения равен 33.5 ед объёма.