Здравствуйте, kabanov.anton2010!

Для функции

имеем:
1) Область определения функции - вся числовая прямая, кроме точек x=[$8730$]3 и x=-[$8730$]3, в которых знаменатель дроби обращается в ноль, следовательно, имеет место разрыв второго рода.
2) Так как

функция является нечётной.
3) Не существует такого T, что y(x+T) = y(x), поэтому функция - непериодическая.
4) В точках разрыва




то есть x=[$177$][$8730$]3 - вертикальные асимптоты.
5) Так как

и

то y = kx+b = -x - наклонная асимптота (а горизонтальных асимптот нет).
6) Так как y(0) = 0, то график функции пересекается с осью Oy в точке (0, 0). Так как из

следует

то график функции пересекается с осью Ox также в точке (0, 0). Учитывая результаты, полученные в 4), это означает, что функция отрицательна на интервалах (-[$8730$]3, 0), ([$8730$]3, +[$8734$]) и положительна на всех остальных - (-[$8734$], -[$8730$]3) и (0, [$8730$]3).
7) Найдём первую и вторую производные:


и определим их значения (с точностью до знака):

Здесь стрелками обозначены интервалы возрастания/убывания функции, знаки [$8745$]/[$8746$] указывают на выпуклость/вогнутость графика. Таким образом, функция возрастает при -3 < x < 3 (y' > 0), убывает при x < -3 и x > 3 (y' < 0), x = 3 - точка локального максимума (y' = 0 и y" < 0), x = -3 - точка локального минимума (y' = 0 и y" > 0); функция вогнута при x < -[$8730$]3 и при 0 < x < [$8730$]3 (y" > 0), выпукла при -[$8730$]3 < x < 0 и при x > [$8730$]3 (y" < 0); точка x = 0 (y' = y" = 0) является особой.
График функции: