Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 199652
19.11.2020, 10:29
0.00 руб.
1 1 1
Образование
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

даны векторы a1 a2 a3 b . Показать, что векторы a1 a2 a3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе

a1 ={2; 1; 3}, a2={3; -1; 1}, a3={1; -1; -2}, b={7; 0; 7}
Прикрепленные файлы:
545f9777a75b83ce5792bad089f06e451ef0df8e.png
скачать (6.00 кБ)

Обсуждение

давно
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший Модератор
312929
1973
24.11.2020, 04:58
общий
это ответ
Здравствуйте, Дмитрий!

Векторы a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], a[sub]3[/sub] образуют базис в том, и только в том случае, если они линейно независимы, то есть их линейная комбинация [$945$]1a[sub]1[/sub] + [$945$]2a[sub]2[/sub] + [$945$]3a[sub]3[/sub] равна 0 только при [$945$][sub]1[/sub]=[$945$][sub]2[/sub]=[$945$][sub]3[/sub]=0. Другими словами, векторы a[sub]1[/sub] = {x1, y1, z1}, a[sub]2[/sub] = {x2, y2, z2} и a[sub]3[/sub] = {x3, y3, z3} образуют базис, если линейная однородная система уравнений

имеет единственное решение [$945$][sub]1[/sub]=[$945$][sub]2[/sub]=[$945$][sub]3[/sub]=0. Это, в свою очередь возможно только если определитель системы

отличен от нуля (в противном случае система имеет бесконечно много решений).
В данном случае соответствующий определитель (составленный из координат векторов) равен

то есть векторы a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], a[sub]3[/sub] действительно образуют базис.
Координаты вектора b = {xb, yb, zb} в этом базисе можно найти, решив соответствующую неоднородную систему

которая в данном случае имеет вид

Решение системы можно найти, например, методом Крамера, вычислив соответствующие определители:




то есть b = a[sub]1[/sub]+2a[sub]2[/sub]-a[sub]3[/sub].
5
Форма ответа