Здравствуйте, svrvsvrv!
Дана функция y(x) = tg[log₄(1 + 5x)] / (x³ + 2·x² + 5x)
Вычислить предел при x[$8594$]0 , используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение : Вычислитель Маткад (ссылка) выдал готовое решение Lim_x[$8594$]0 y(x) = 1 / ln(4) за 1 секунду.
Однако, поскольку задано вычислить предел "используя эквивалентные бесконечно малые функции", читаем учебную статью "Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах" Ссылка2 .

При попытке вычислить предел простой подстановкой предельного значения x = 0 получаем неопределённость вида 0/0 .
Используем правило эквивалентности "Если [$945$] [$8594$] 0 , то tg([$945$]) ~ [$945$]" .
В нашей задаче числитель дроби есть бесконечно малая функция в окрестности x = 0 . Поэтому замена tg([$945$]) [$8594$] [$945$] допустима.
Заменяем числитель tg[log₄(1 + 5x)] на log₄(1 + 5x) .

Выражение log₄(1 + 5x) тоже есть бесконечно малая функция в окрестности x = 0 . Надо заменить её по типу
ln(1 + [$945$]) [$8594$] [$945$] с учётом отличия основания нашего логарифма от основания натурального логарифма. В справочнике по школьной математике находим формулу соответствия : log₄(b) = ln(b) / ln(4) . Заменяем бесконечно малую функцю log₄(1 + 5x) эвивалентом log₄(1 + 5x) ~ 5x / ln(4)

В знаменателе выносим x за скобки. Получаем :
Lim_x[$8594$]0 = Lim_x[$8594$]0 {[5x / ln(4)] / [x·(x² + 2·x + 5)]} = Lim_x[$8594$]0 {5 / [ln(4)·(x² + 2·x + 5)]} =
= 5 / [ln(4)·(0² + 2·0 + 5)] = 5 / [5·ln(4)] = 1 / ln(4)
Ответ : Искомый предел равен 1 / ln(4) [$8776$] 0,721