Здравствуйте, polina-yakupova!
Столько математики здесь, прям страшно браться
Но попробуем, так и быть.
Дано:
<nu>=1 моль
p(V)=p₀*e^-bV (*)
p₀=5*10⁵ Па
b=25 м^-1 - здесь, вероятно, ошибка в размерности...
Найти:
Т_max
Решение:
1. Уравнение Менделеева
pV=<nu>RT ....... (1)
где R=8.31 Дж/моль*К - универсальная газовая постоянная.
Отсюда
Т(V)=(1/<nu>R)*pV = (1/<nu>R)*p₀*e^-bV*V ...... (2)
- функциональная (математическая) зависимость температуры от объема.
Найдем экстремумы, для этого определим производную Т'(V) - произведение двух функций f и g, одна из которых сложная, c постоянным множителем k.
f= p₀*e^-bV
g=V
k=1/<nu>R
T'(V)=k(f'g+g'f)
T'(V)=(p₀*e^-bV/<nu>R)*(1-bV) ......... (3)
Приравняем выражение (3) к нулю.
Первый множитель в этом выражении равен нулю быть не может (экспонента), следовательно
1-bV=0
Отсюда V=1/b=1/25 м^-1=0,04 м - вот всплыла ошибка из условия - единица измерения объема [b]м[/b]???
Следовательно, V=0.04 - экстремум функции Т(V)
Из выражения (3) [$8658$]
При V=0, Т'(V)>0 [$8658$] слева от V=0,04 функция возрастает [$8658$] V=0.04 - максимум функции T(V).
Воспользуемся выражением (*) из условия и найдем соответствующее полученному объему давление:
p=5*10⁵e^-25*0.04=5*10⁵/e=1,84*10⁵ Па
Воспользуемся выражением (2) и рассчитаем соответствующую (максимальную) температуру:
Т_max=(1/1*8.31)*1,84*10⁵*0.04=(~886 K)
Ответ:
~886 K

Как-то так
Думаю, что с размерностью вы разберетесь при желании самостоятельно
Удачи