Здравствуйте, KSIW2S!
Запишем объём балки как функцию переменной
l:
Требуется найти точки максимума этой функции.
Как известно из курса мат.анализа, необходимым (но не достаточным!) условием наличия в точке экстремума (максимума или минимума) функции является равенство нулю производной функции в этой точке. Достаточным условием является неравенство нулю второй производной, в частности, в точке максимума вторая производная строго меньше нуля.
В данном случае для функции
V(l) имеем:
Первая производная обращается в ноль при
l = b и
l = b/3 - это возможные точки экстремума. Для второй производной имеем
V"(b) = 2ab > 0 и
V"(b/3) = -2ab < 0. Следовательно,
l = b - точка минимума, а
l = b/3 - точка максимума.
Итак, при
l = b/3 объём балки будет наибольшим и равным
4ab[sup]3[/sup]/27.