Здравствуйте, artemys03!
Дано: C1 = 4 мкФ, С2 = 5 мкФ, С3 = 20 мкФ, q12 = 20 мкКл.
Вычислить заряд q, протёкший ч-з резистор, и количество теплоты Q.
Решение : Я начертил небольшую эл-схему (прилагаю ниже), чтоб Вам было понятнее перетекание зарядов.
Ёмкость C конденсатора связана с его зарядом q формулой C = q/U , где U - напряжение м-ду обкладками конденсатора (см учебную статью "
Электроёмкость. Конденсаторы"
Ссылка1 ).
Используя эту связь, вычисляем исходное напряжение на первом конденсаторе:
U1 = q12 / C1 = 20 / 4 = 5 Вольт.
Исходное напряжение на втором конденсаторе: U2 = q12 / C2 = 20 / 5 = 4 В.
Суммарное напряжение на ключе Кл (= на 2х левых по схеме конденсаторах) до момента замыкания ключа
U0 = U1 + U2 = 5+4 = 9 В.
После замыкания ключа конденсаторы C1 и C2 разряжаются ч-з резистор R , а конденсатор C3 - заряжается встречной полярностью (плюсом слева по схеме). Ток греет резистор и спадает до нуля по экспоненциальному закону. Конечное напряжение батареи равно нулю. Зафиксируем эту мысль в виде уравнения:
U1k + U2k - U3 = 0
Добавились сразу 3 неизвестных к ранее-неизвестному искомому q !
Чтобы не запутаться в избыточно-сложной системе уравнений, упростим задачу, пользуясь тем, что в Условии НЕ запрошено вычислять состояние КАЖДОГО конденсатора после разряда. Представим, будто 2 левых по схеме конденсатора - это единый составной конденсатор с ёмкостью
C0 = 1 / (1/C1 + 1/C2) = 1/(1/4 + 1/5) = 20 / (5+4) = 20/9 мкФ
Его начальный заряд q0 = С0·U0 = (20/9)·9 = 20 мкКл (как у каждого из С1 и С2 , совпадение немного удивляет).
Конечное напряжение составного конденсатора C0 равно конечному напряжению встречно-заряженного C3, то есть:
U0k = U3
Учтём : U0k = q0k / C0 , а U3 = q3 / C3
Здесь q0k и q3 - конечные заряды конденсаторов C0 и C3 соответственно.
Заметим, что q0k = q0 - q , q3 = q , где q - искомый заряд, протёкший через резистор, потому что наша цепь - НЕ разветвлённая, и одинаковые заряды q протекли ч-з все её элементы!
Осталось решить единственное уравнение:
(q0 - q) / C0 = q / C3
Группируем неизвестные q в левую часть уравнения :
q0/C0 - q/C0 = q/C3
q/C3 + q/C0 = q0/C0
q(1/C3 + 1/C0) = q0/C0
q = q0/[C0·(1/C3 + 1/C0)] = q0·C3/(C3 + C0) = 20·20/(20 + 20/9) = 20/(1 + 1/9) = 9·20/(9 + 1) = 18 мкКл
Конденсатор C3 зарядился до напряжения U3 = q/C3 = 18/20 = 9/10 В.
Как проверить расчёт? Убедимся, что конечное напряжение составного конденсатора C0 действительно равно конечному напряжению встречно-заряженного C3 :
На конденсаторе C0 остался заряд qk = q0 - q = 20 - 18 = 2 мкКл.
Напряжение на C0 стало U0k = qk/C0 = 2/(20/9) = 2·9/20 = 9/10 В = U3 Проверка успешна!
Выделившееся на резисторе количество теплоты Q удобнее вычислить ч-з уменьшение энергии системы конденсаторов, чтоб избавиться от интегрирования экспоненциально-спадающего тока ч-з резистор.
Энергия батареи до замыкания ключа - это начальная энергия составного конденсатора C0 :
E0 = C0·U0
2/2 = (20/9)·9
2/2 = 20·9/2 = 90 мкДж .
Энергия батареи после замыкания ключа - это сумма конечных энергий конденсаторов C0 и C3 . Они оба стали заряжены до одинакового по модулю напряжения:
Ek = C0·U0k
2/2 + C3·U3
2/2 = (C0+C3)·U3
2/2 = (20/9 + 20)·(9/10)
2 / 2 = 10·(1/9+1)·81/100 = (100/9)·81/100 = 9 мкДж .
На резисторе выделилось Q = E0-Ek = 90 - 9 = 81 мкДж .
Ответ : заряд протёкший ч-з резистор, равен 18 мкКл, количество теплоты выделилось 81 мкДж .