Здравствуйте, sasha181999_9!
Дано : число 3
1998 + 2
1998 .
Вычислить остаток деления этого числа на 13.
Решение : Заданное число слишком велико для обычного вычисления с помощью калькулятора или программы Маткад.
Читаем учебную статью "
Арифметика остатков"
Ссылка1Делитель в теории чисел называют "модулем", а числа, дающие при делении на модуль 7 одинаковые остатки, называют равно-остаточными или "сравнимыми по модулю 7". Тот факт, что два числа A и B при делении на некоторый модуль М дают одинаковые остатки, т.е. сравнимы по модулю М, записывают так: A[$8801$]В (mod 7) . Тут M=7 .
...
Пункт7 : Свойство степени : Если a[$8801$]b (mod m), то a
n[$8801$]b
n (mod m) .
Доказательство: a[$8801$]b (mod m) ==> a=k·m+b ==> a
n= (k·m+b)
n = m·(…) + b
n ==> a
n[$8801$]b
n (mod m) .
Пример: 7[$8801$]4 (mod 3) ==> 7
2[$8801$]4
2 (mod 3) ==> 49[$8801$]16 (mod 3).
Пример9 : Делится ли число 3
1998 + 2
1998 на 13 ?
Решение: тк 3
3 = 27[$8801$]1 (mod 13), то (3
3)^k даёт при делении на 13 остаток 1. Тут k - натуральное число. Число 1998 делится на 3, т.е. выражение 3
1998 имеет вид (3
3)^k и потому 3
1998[$8801$]1 (mod 13) .
Другими словами : Остаток от деления 3
1998 на 13 равен 1.
Рассмотрим теперь степени числа 2.
2[$8801$]2 (mod 13),
2
2[$8801$]4 (mod 13),
2
3[$8801$]8 (mod 13),
2
4[$8801$]3 (mod 13),
2
5[$8801$]6 (mod 13),
2
6[$8801$]12 (mod 13),
2
7[$8801$]11 (mod 13),
2
8= 2
7·2[$8801$]11·2[$8801$]9 (mod 13),
2
9 = 2
8·2[$8801$]9·2[$8801$]5 (mod 13),
2
10 = 2
9·2[$8801$]5·2[$8801$]10 (mod 13),
2
11 = 2
10·2[$8801$]10·2[$8801$]7 (mod 13),
2
12 = 2
11·2[$8801$]7·2[$8801$]1 (mod 13),
2
13 = 2
12·2[$8801$]1·2[$8801$]2 (mod 13).
Период повторения равных остатков 12, следовательно, 2
1998 = 2
12·166+6 [$8801$] 2
6 [$8801$] 12 (mod 13), то остаток равен 12.
Итак, в сумме 3
1998 + 2
1998 первое слагаемое при делении на 13 дает остаток 1, а второе - остаток 12.
Сумма остатков равна 13, а это означает, что число 3
1998 + 2
1998 делится на 13.
Ответ : число 3
1998 + 2
1998 делится на 13 нацело.
Решение похожей задачи "Найдите остаток от деления 3
2017 на 7"
znanija.com/task/29300968