Здравствуйте, line-di!

Ограничусь рассмотрением первого уравнения.

Пусть дано уравнение

Если умножить обе части этого уравнения на то учитывая, что получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решим его методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной). Сначала рассмотрим соответствующее уравнение с нулевой правой частью:








Положим Решение уравнения ищем в виде Имеем











Следовательно,


Проверьте выкладки во избежание ошибок!

Здравствуйте, line-di!
2. xy'-y=y[sup]2[/sup].
Уравнение x*dy/dx = y² преобразуем к виду dx/x = dy/y².
Интегрируем: ln|x| + C = -1/y, отсюда находим: y = -1/(ln|x| + C).

3. y' - y/2=x.
Решим сначала однородное уравнение y' - y/2=0.
Решение ищем в виде y = C*exp([$955$]*x). Подставляем и дифференцируем:
С*[$955$]*exp([$955$]*x) = exp([$955$]*x)/2, откуда находим [$955$]=1/2.
Таким образом, общее решение однородного уравнения: y = C*exp(x/2).

Частное решение исходного уравнения ищем в виде y = a*x + b.
Подставляем в исходное уравнение, получим: a - a*x/2 - b/2 = x.
Отсюда находим a = -2, b = -4, y = -2x - 4.
Общее решение исходного уравнения есть сумма его частного решения
и общего решения однородного уравнения:
y = C*exp(x/2) -2x - 4.