Здравствуйте, Посетитель - 399097!
Касательная к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет угловой коэффициент k=f'(x₀) и проходит через точку касания (x₀, f(x₀))
Таким образом, уравнение касательной y=f'(x₀)[$183$](x-x₀)+ f(x₀)
рассматриваемая парабола
f(x)=x²+1
f'(x)=2x
уравнение касательной:
y=2x₀[$183$](x-x₀)+x₀²+1
подставляем x=0, y=-3
-3=2x₀[$183$](-x₀)+x₀²+1
x₀²=4
x₀=[$177$]2
f(x₀)=5
Касательные касаются параболы в точках (2; 5) и (-2; 5)

Рассмотрим ситуацию в интервале x[$8712$][0; 2]
искомая часть площади здесь заключена между параболой y=x²+1 и касательной y=4x-3
S₁=₀²[$8747$](x²-4x+4)dx=(2³-0)/3-2(2²-0)+4(2-0)=8/3-8+8=8/3
Поскольку рассматриваемая фигура симметрична относительно оси ординат, площадь в интервале x[$8712$][-2; 0] будет такой же.
Полная площадь равна
S=2S₁=16/3=5¹/₃

Здравствуйте, Посетитель - 399097!

Если на координатной плоскости изобразить заданные параболу и точку, из которой к этой параболе проведены касательные, то понятно, что имеется две точки касания.

Имеем


Если обозначить абсциссы точек касания через то уравнения касательных будут иметь вид

или


что при подстановке координат точки т. е. даёт




Значит, координаты точек касания суть и

Выведем уравнение прямой, проходящей через точки и как график зависимости используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:






В силу симметрии фигуры, образованной заданной параболой и касательными к ней. проведёнными из заданной точки, относительно оси ординат, искомая площадь фигуры составляет



С уважением.