Консультация № 188555
26.12.2015, 21:04
0.00 руб.
0 7 1
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в указанной замкнутой области D.
Z - exp(x^2+y^2+y)
D - |x|+|y|<=1

Обсуждение

давно
Профессионал
398750
498
26.12.2015, 21:47
общий
26.12.2015, 21:51
Вот правильное решение

Здравствуйте, bissinbeev!
Для начала находим первые производные


Приравниваем первые производные к нулю, и находим точки подозрительные на экстремум


Из системы находим


Имеем единственную точку, подозрительную на экстремум (0,-1/2)
Теперь находим вторые производные



Подставляем во вторые производные координаты точки (0,0)



,, значит в точке (0,-1/2) минимум функции
Так как точка (0,-1/2) принадлежит области D , значит минимум этой функции в заданной области находиться в точке (0,-1/2)

осталось найти максимум. Для этого надо рассматривать границы области.
Границы области d есть прямые
Я рассмотрю одну границу, а вы по аналогии рассмотрите остальные

подставляем в нашу функцию вместо у



значит Решая, находим
Подставляем это значение в находим

Значит
Аналогично рассматриваем остальные три границы, находим такие значения, максимальное из этих точек и будет максимумом в области D
давно
Посетитель
7438
7205
26.12.2015, 22:12
общий
Адресаты:
Лучше не удалять, а исправить... Теперь ответить уже нельзя...
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
давно
Модератор
156417
2175
26.12.2015, 22:26
общий
Адресаты:
Удалённый ответ возможно восстановить и затем отредактировать, но повторную подачу ответа вместо удалённого система не допускает. Однако лучше к этому не прибегать - если хотите исправить ошибку, просите Модераторов о внесении правки в ответ.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
27.12.2015, 06:32
общий
Адресаты:
В задаче не требуется проводить исследование функции на экстремум. Поэтому находить вторые производные функции не нужно.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
27.12.2015, 08:15
общий
это ответ
Здравствуйте, bissinbeev!

Заданная область - квадрат с вершинами в точках Его граница состоит из следующих четырёх участков:
1) участок :
2) участок :
3) участок :
4) участок :

Находим критические точки функции:

Решением системы является точка Она принадлежат заданной замкнутой области.

Находим значение функции в критической точке:


Исследуем функцию на границах области.

На участке Значения функции:




На участке Значения функции:




На участке Значения функции:




На участке Значения функции:




Таким образом,

Обязательно проверьте выкладки во избежание ошибок!

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Профессионал
398750
498
27.12.2015, 08:39
общий
Адресаты:
Андрей Владимирович, это стандартная задача на нахождения экстремума . Сначала находим экстремумы функции, и если эти точки принадлежат области, значит они и будут минимумом или максимумом. И без нахождения второй производной, Вы не будете знать, точно ли в этой точке есть экстремум. После первой производной, она только подозрительная на экстремум. А Вы сразу это решили. Ведь может оказаться что дельта меньше нуля.. тогда там нет никакого экстремума
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
27.12.2015, 08:44
общий
Адресаты:
Елена Васильевна! Экстремумы и наибольшее и наименьшее значения - не одно и то же!
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа