Здравствуйте, Посетитель - 399202!
Пусть при изготовлении смеси используется
x[sub]1[/sub] кг первого сырья и
x[sub]2[/sub] кг второго сырья (эти величины должны быть неотрицательными). Тогда смесь будет содержать вещества В1, В2, В3 в количествах
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub],
4x[sub]1[/sub] и
2x[sub]1[/sub]+2x[sub]2[/sub] единиц, которые должны быть не меньше 14, 12 и 20 единиц соответственно, стоимость смеси будет равна
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] и требуется установить, при каких
x[sub]1[/sub] и
x[sub]2[/sub] она будет наименьшей.
Таким образом, имеем задачу линейного программирования: необходимо найти минимальное значение целевой функции
F = 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] [$8594$] min при системе ограничений:
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub][$8805$]14,4x[sub]1[/sub][$8805$]12,2x[sub]1[/sub]+2x[sub]2[/sub][$8805$]20,x[sub]1[/sub][$8805$]0,x[sub]2[/sub][$8805$]0.Решение данной задачи графическим методом:
1. Построим область допустимых решений, то есть решим графически систему неравенств. Для этого построим соответствующие прямые и определим полуплоскости, заданные неравенствами:
2. Пересечением полуплоскостей будет область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств задачи. Обозначим границы этой области:
3. Рассмотрим целевую функцию задачи
F = 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] [$8594$] min. Построим прямую, отвечающую значению функции
F = 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Нам требуется минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области (на графике эта прямая обозначена пунктирной линией):
Прямая
F(X) = const пересекает область в точке A, являющейся пересечением прямых
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]=14 и
4x[sub]1[/sub]=12, поэтому координаты точки удовлетворяют системе:
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]=14,4x[sub]1[/sub]=12решение которой даёт
x[sub]1[/sub] = 3,
x[sub]2[/sub] = 8 и минимальное значение целевой функции
F(X) = 2[$183$]3 + 1[$183$]8 = 14.
Поскольку целевая функция F(X) параллельна прямой
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub], то на отрезке AB она будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Аналогично, координаты точки B являются решением системы уравнений:
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]=14,2x[sub]1[/sub]+2x[sub]2[/sub]=20и равны
x[sub]1[/sub] = 4,
x[sub]2[/sub] = 6.