Здравствуйте, Логинов Трофим В.!
Рассмотрим вторую задачу.
Заряд q находится в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью [$949$]
1 на расстоянии l от диэлектрика с проницаемостью [$949$]
2Рассмотрим некую точку S на границе диэлектриков. Пусть угол между отрезком, соединяющим её с зарядом, и нормалью к границе сред равен [$945$].
Тогда расстояние от заряда равно r=l/cos[$945$]
Электрическое смещение в этой точке D=q/(4[$960$]r
2)=q[$183$]cos
2[$945$]/(4[$960$]l
2)
и перпендикулярная границе сред составляющая D
z=-D[$183$]cos[$945$]=-q[$183$]cos
3[$945$]/(4[$960$]l
2)
(знак означает, что при положительном заряде она направлена вниз)
Эта составляющая на границе сред неизменна, при этом она порождает на первом диэлектрике поверхностную плотность заряда
[$963$]
1=-2D
z[$183$]([$949$]
1-1)/[$949$]
1а на втором [$963$]
2=2D
z[$183$]([$949$]
2-1)/[$949$]
2итого плотность заряда в точке S
[$963$]=[$963$]
1+[$963$]
2=-2D
z[$183$](([$949$]
1-1)/[$949$]
1-([$949$]
2-1)/[$949$]
2)=
=q[$183$]cos
3[$945$]/(2[$960$]l
2)[$183$](([$949$]
1-1)/[$949$]
1-([$949$]
2-1)/[$949$]
2)
участок площадью dS несёт заряд dq=[$963$][$183$]dS и действует на заряд с силой
dF=q[$183$]dq/(4[$960$][$949$]
1[$949$]
0r
2)
параллельная границе сред составляющая компенсируется симметричным участком. Перпендикулярная составляющая равна
dF
z=dF[$183$]cos[$945$]=q[$183$]dq[$183$]cos
3[$945$]/(4[$960$][$949$]
1[$949$]
0l
2)=
=q
2[$183$]cos
6[$945$][$183$]dS/(8[$960$]
2[$949$]
1[$949$]
0l
4)[$183$](([$949$]
1-1)/[$949$]
1-([$949$]
2-1)/[$949$]
2)
Разберёмся, что в наших координатах представляем из себя dS
dS=2[$960$]xdx=2[$960$]l[$183$]tg[$945$][$183$](l/cos[$945$])[$183$]d[$945$]/cos[$945$]=2[$960$]l
2sin[$945$]/cos
3[$945$] d[$945$]
dF
z=q
2[$183$]sin[$945$]cos
3[$945$][$183$]d[$945$]/(4[$960$][$949$]
1[$949$]
0l
2)[$183$](([$949$]
1-1)/[$949$]
1-([$949$]
2-1)/[$949$]
2)
Это выражение нужно проинтегрировать по [$945$] от 0 до [$960$]/2
обратим внимание, что d(cos
4[$945$])=-4cos
3[$945$]sin[$945$]d[$945$]
таким образом,
0[$960$]/2[$8747$]cos
3[$945$]sin[$945$]d[$945$]=-(1/4)[$183$](cos
4([$960$]/2)-cos
40)=-(1/4)[$183$](0-1)=1/4
в результате получаем F=
0[$960$]/2[$8747$]dF
z([$945$])=q
2/(16[$960$][$949$]
1[$949$]
0l
2)[$183$](([$949$]
1-1)/[$949$]
1-([$949$]
2-1)/[$949$]
2)=q
2[$183$](1/[$949$]
2-1/[$949$]
1)/(16[$960$][$949$]
1[$949$]
0l
2)
Вывод насчёт направления силы:
если [$949$]
2>[$949$]
1, то граница сред притягивает заряд;
если [$949$]
2<[$949$]
1, то граница сред отталкивает заряд;
если [$949$]
2=[$949$]
1, то сила равна нулю.