Здравствуйте, Посетитель - 356695!

4.
2x = 3 mod 5
Можно сказать, что надо найти такие целые неотрицательные x не больше 5, что
2x = 3 + 5k,
где k тоже целое.
Заметим, что так как 2 и 5 взаимно просты, интересующее нас решение, если оно есть, единственно. Действительно, пусть x' и k' -- другое решение. Тогда
3 = 2x - 5k = 2x' - 5k',
2(x - x') = 5(k - k').
Значит x-x' кратно 5, а значит x отличается от x' на кратное 5. Т.е. эти решения одинаковы, по модулю 5.
Итак, показано, что решение, если есть, единственно. Но легко видеть, что x=4 -- решение.

21х = 35 mod 77
Снова -- ищем 0<=x<77 такое, что
21x = 35 + 77k.
Поделим на 7.
3x = 5 + 11k.
3 и 11 взаимно просты, поэтому решение, если есть, единственно. А x=9 -- решение.

Здравствуйте, Посетитель - 356695!
1.
Перечислим все возможные классы вычетов по модулю 6:
[0]={...-12, -6, 0, 6, 12,...} (это числа при делении на 6 дающие остаток 0),
[1]={...-11, -5, 1, 7, 13,...} (это числа при делении на 6 дающие остаток 1),
[2]={...-10, -4, 2, 8, 14,...} (это числа при делении на 6 дающие остаток 2),
[3]={...-9, -3, 3, 9, 15,...} (это числа при делении на 6 дающие остаток 3),
[4]={...-8, -2, 4, 10, 16,...} (это числа при делении на 6 дающие остаток 4),
[5]={...-7, -1, 5, 11, 18,...} (это числа при делении на 6 дающие остаток 5).
Полные системы наименьших неотрицательных и абсолютно наименьших вычетов составляются следующим образом: из каждого класса вычетов берется соответственно наименьшее неотрицательное число и наименьшее по модулю число.
Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 6 имеет вид: {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Полная система абсолютно наименьших вычетов по модулю 6 имеет вид: {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Теперь для модуля 11:
полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 11: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
полная система абсолютно наименьших вычетов по модулю 11: {-5,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Здравствуйте, Посетитель - 356695!
№ 2. Ответ: Mod(17[sup]61[/sup],100) = 17
Доказательство:
17[sup]61[/sup] = (7 + 10)[sup]61[/sup](бином Ньютона), или:
17[sup]61[/sup] = 7[sup]61[/sup] + 61*7[sup]60[/sup]*10 + [size=4][$8721$][/size][sub]3[/sub][sup]61[/sup]B[sub]k[/sub]*7[sup](62-k)[/sup]*10[sup](k-1)[/sup] = 7[sup]61[/sup] + 61*7[sup]60[/sup]*10 + 100*[size=4][$8721$][/size][sub]3[/sub][sup]61[/sup]B[sub]k[/sub]*7[sup](62-k)[/sup]*10[sup](k-3)[/sup] (1), где B[sub]k[/sub] - "биномиальный коэффициент" k-го члена ряда; отсюда Mod(17[sup]61[/sup],100) = Mod((17[sup]61[/sup] + 61*7[sup]60[/sup]*10),100) (2). С другой стороны, справедлива закономерность: Mod(7[sup]4*m[/sup],100) = 1 (3), Mod(7[sup](4*m+1[/sup],100) = 7 (3а), где m - произвольное целое. Подставив (3) и (3а), при m = 15 в (2), получаем: Mod(17[sup]61[/sup],100) = 17, ЧТД.

Здравствуйте, Посетитель - 356695!

5. В задаче рассматривается множество натуральных чисел от 1 до 300. Это множество состоит из 300 элементов. Среди них насчитывается 150 нечётных чисел (они не делятся на 2). Среди нечётных чисел, в свою очередь, насчитывается 12 чисел, которые делятся на 13, и 8 чисел, которые делятся на 19. Одно число (13 * 19 = 247) делится и на 13, и на 19. Значит, насчитывается 150 - 12 - 8 + 1 = 131 число, которое не делится ни на 2, ни на 13, ни на 19.

Наверное, наибольшие сложности вызывает подсчёт количества чисел, кратных тому или иному числу. Например, количество чисел, которые делятся на 13, можно найти так: наименьшее такое число равно 13, а наибольшее - 299; так как 13 : 13 = 1, а 299 : 13 = 23, то получаем 12 нечётных чисел (1, 3, 5, ..., 23), являющихся множителями числа 13 и дающих нечётные числа, которые делятся на 13...

С уважением.