Здравствуйте, mihail suhoverov!
Для удобства выполнения рисунка преобразуем уравнение заданной плоскости следующим образом:
Из уравнения (2) следует, что плоскость пересекает ось абсцисс в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/27237.png)
ось ординат - в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/27238.png)
а ось аппликат - в точке
![](https://rfpro.ru/formulas/27239.png)
Из уравнения (1) следует, что нормальным вектором этой плоскости является вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/27242.png)
Этот вектор является внешним по отношению к пирамиде. Длина этого вектора составляет
![](https://rfpro.ru/formulas/27245.png)
а единичным вектором того же направления является вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/27247.png)
причём, как известно, координаты единичного вектора нормали являются его направляющими косинусами.
Изобразим пирамиду, учитывая, что её основанием является треугольник
![](https://rfpro.ru/formulas/27243.png)
а вершиной - начало координат. На этом же рисунке изобразим и вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/27244.png)
1. В нашем случае векторное поле задано уравнением
![](https://rfpro.ru/formulas/27248.png)
свидетельствующим о том, что оно всюду параллельно оси аппликат. Значит,
![](https://rfpro.ru/formulas/27250.png)
Из уравнения (1) находим
![](https://rfpro.ru/formulas/27262.png)
откуда получим
![](https://rfpro.ru/formulas/27264.png)
Следовательно, по одной из формул, поток
![](https://rfpro.ru/formulas/27289.png)
векторного поля
![](https://rfpro.ru/formulas/20686.png)
через поверхность
![](https://rfpro.ru/formulas/27265.png)
составляет
2. Для непосредственного вычисления циркуляции воспользуемся формулой
где в нашем случае контур интегрирования
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
представляет собой границу треугольника
![](https://rfpro.ru/formulas/27293.png)
Разбивая контур интегрирования на отрезки, получим
Для вычисления циркуляции по теореме Стокса будем рассматривать треугольник
![](https://rfpro.ru/formulas/15883.png)
как поверхность
![](https://rfpro.ru/formulas/27265.png)
, натянутую на свой контур
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Тогда
где
![](https://rfpro.ru/formulas/27330.png)
Это поверхностный интеграл первого рода. Воспользуемся формулой
где
![](https://rfpro.ru/formulas/27325.png)
- проекция поверхности
![](https://rfpro.ru/formulas/27265.png)
на плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/25353.png)
Тогда
Получили тот же результат.
3. Как видно из рисунка, грани пирамиды, расположенные в плоскостях
![](https://rfpro.ru/formulas/27336.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/27337.png)
параллельны векторному полю
![](https://rfpro.ru/formulas/26679.png)
а грань, расположенная в плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/27338.png)
перпендикулярна к нему. Поэтому поток
![](https://rfpro.ru/formulas/27342.png)
этого векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении её внешней нормали равен сумме потоков через треугольники
![](https://rfpro.ru/formulas/27339.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/15883.png)
(соответственно
![](https://rfpro.ru/formulas/27340.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/27341.png)
). Имеем
![](https://rfpro.ru/formulas/27370.png)
(см. п. 1);
(Здесь мы учитываем, что единичный вектор внешней нормали к треугольнику
![](https://rfpro.ru/formulas/27339.png)
- это вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/27345.png)
Для этого треугольника
![](https://rfpro.ru/formulas/27346.png)
);
Поток векторного
![](https://rfpro.ru/formulas/27342.png)
поля
![](https://rfpro.ru/formulas/20686.png)
через полную поверхность пирамиды можно вычислить и иначе, используя формулу Остроградского:
Получили тот же результат.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.