Здравствуйте, Massimo!

Изобразить область D на координатной плоскости не должно составить для Вас трудностей: она заключена между осью абсцисс и параболой y = 4 - x². Парабола пересекает ось ординат в точке (0; 4), а ось абсцисс - в точках (-2; 0) и (2; 0).

Найдём стационарные точки функции z = 10 + 2xy - x², лежащие внутри области D. Частные производные приравниваем к нулю: z'_x = 2y - 2x = 0, z'_y = 2x = 0, следовательно, имеется одна стационарная точка: М(0; 0). Значение функции в этой точке z(M) = 10. Характер точки определим ниже.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на границе области.

При y = 0 имеем z = 10 - x², и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке -2 [$8804$] x [$8804$] 2. Находим стационарную точку: z'_x = -2x, x = 0. Поскольку z"_xx = -2 < 0, постольку точка x = 0 является точкой максимума. z_max = z(0; 0) = z(M) = 10. На концах отрезка имеем z(-2; 0) = 6, z(2; 0) = 6.

При y = 4 - x² имеем z = 10 + 2x(4 - x²) - x² = 10 + 8x - x² - 2x³, и задача опять-таки сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке -2 [$8804$] x [$8804$] 2. Находим стационарные точки: z'_x = 8 - 2x - 6x² = 2(4 - x - 3x²), 4 - x - 3x² = 0, D = (-1)² - 4 [$183$] (-3) [$183$] 4 = 1 + 48 = 49, [$8730$]D = 7, x₁ = (1 - 7)/(2 [$183$] (-3)) = 1, x₂ = (1 + 7)/(2 [$183$] (-3)) = -4/3. Поскольку z"_xx = -2 - 12x, z"_xx(-4/3) = 14 > 0, z"_xx(1) = -14 < 0, постольку на параболе при x = -4/3 функция имеет минимум z_min = 10 + 8 [$183$] (-4/3) - (-4/3)² - 2 [$183$] (-4/3)³ = 10 - 32/3 - 16/9 + 128/27 = (270 - 288 - 48 + 128)/27 = 62/27 [$8776$] 2,3, а при x = 1 максимум z_max = 10 + 8 [$183$] 1 - 1² - 2 [$183$] 1³ = 15.

Следовательно, z_min = 62/27, z_max = 15.

С уважением.