Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Ниже приведены некоторые задачи из курса линейной алгебры (2й семестр).Завтра состоится экзамен, и моя просьба заключается в том, чтобы помочь мне с их решением!

1.Имеются два линейных преобразования, причем AB=BA. Доказать, что ядро и образ A инвариантны относительно B.
2.Дано отображение в производную D: L->L, ,базис: e1=1, e2=sinx, e3=cosx, e4=sin2x, e5=cos2x
написать матрицу отображения по базису L=Lin(e1,e2,e3,e4,e5)
(формулировка не самая точная, надеюсь, смысл понятен)
3.Доказать, что множество матриц nxn можно представить в виде прямой суммы кососимметрических матриц nxn и симметрических матриц nxn.
4.Найти линейно независимые собственные векторы для собственного значения λ=1. Матрица преобразования:
1 0 2 -1
0 1 4 -2
2 -1 0 1
2 -1 -1 2
5.Доказать, что характеристическое уравнение сопряженного преобразования А* совпадает с хар. ур-нием А евклидова пространства V
6.Является ли инъективным, сюръективным, биективным данное преобразование в трёхмерном векторном пространстве? Найти ядро, образ, дефект и ранг:
A(x) = ((x, a) / (a, a)) * a, где a - заданный вектор.
7.Составить матрицу ортогональной проекции в V3 на ось, образующую одинаковые углы между собой и базисными векторами (вроде бы должна получаться матрица порядка 3х3, целиком состоящая из элементов 1/3)
8.Дано преобразование А(х) = [x, a], а - единичный вектор. Проверить на инъективность, сюръективность, биективность. Найти ядро, образ, дефект, ранг.

Разумеется, все задачи наверняка решать долго, но будет очень здорово, если вы поможете хотя бы с парой задач (самых легких, на ваш взгляд)

Заранее огромное спасибо откликнувшимся экспертам!

С уважением,
Иван.