Здравствуйте, Неучев Александр Романович!
1
Это уравнение в полных диференциалах Pdx+Qdy=0



3
y'''+4y'=x^2
Решение ищем в виде суммы общего решения однородного уравнения у0 и частного решения неоднородного у*
Характеристическое уравнение однородного уравнения y'''+4y'=0:
k^3+4k=0 -> k(k^2+4)=0 -> k1=0, k2=-2i, k3=2i
y0=C1+C2*cos2x+C3*sin2x
Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде y*=x(Ax^2+Bx+C)=Ax^3+Bx^2+Cx
y*'=3Ax^2+2Bx+C
y*''=6Ax+2B
y*'''=6A
Подставляем в уравнение:
6A+12Ax^2+8Bx+4C=x^2
x^2: 12A=1 -> A=1/12
x: 8B=0 -> B=0
6A+4C=0 -> 4C=-6A=-1/2 -> C=-1/8
y*=1/12 x^3 - x/8
y=C1+C2*cos2x+C3*sin2x+1/12 x^3 - x/8
4
y''-8y'+20y=5x*e^(4x)*sin2x
Характеристическое уравнение однородного уравнения:
k^2-8k+20=0 -> k1=4-2i, k2=4+2i
y0=e^(4x)*(C1*cos2x+C2*sin2x)
Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде
y*=x*e^(4x)*((Ax+B)sin2x+(Cx+D)cos2x)=e^(4x)*((Ax^2+Bx)sin2x+(Cx^2+Dx)cos2x)
y*'=e^(4x)*[(4Ax^2+4Bx+2Ax+B-2Cx^2-2Dx)sin2x+(4Cx^2+4Dx+2Ax^2+2Bx+2Cx+D)cos2x]
y*''=e^(4x)[(12Ax^2+12Bx+16Ax+8B-16Cx^2-16Dx+2A-8Cx-4D)sin2x+(12Cx^2+12Dx+16Ax^2+16Bx+16Cx+8D+8Ax+4B+2C)cos2x]
Подставляем в уравнение, сразу сокращая на экспоненту:
(12Ax^2+12Bx+16Ax+8B-16Cx^2-16Dx+2A-8Cx-4D)sin2x+(12Cx^2+12Dx+16Ax^2+16Bx+16Cx+8D+8Ax+4B+2C)cos2x-8*[(4Ax^2+4Bx+2Ax+B-2Cx^2-2Dx)sin2x+(4Cx^2+4Dx+2Ax^2+2Bx+2Cx+D)cos2x]+20*((Ax^2+Bx)sin2x+(Cx^2+Dx)cos2x)=5x*sin2x
x^2sin2x: 0=0
xsin2x: -8C=5 -> C=-5/8
sin2x: 2A-4D=0 -> A=2D
x^2cos2x: 0=0
xcos2x: 8A=0 -> A=0 -> D=0
cos2x: 4B+2C=0 -> B=-C/2=5/16
y*=e^(4x)*(5/16*x*sin2x-5/8*x^2*cos2x)
y=e^(4x)*[C1*cos2x+C2*sin2x+5/16*x*sin2x-5/8*x^2*cos2x]

Здравствуйте, Александр Романович!

2. Положив

получим




Получили уравнение Бернулли, для решения которого применим подстановку Тогда




Подберём функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:








Поскольку нам достаточно любого ненулевого решения уравнения, положим тогда


















- общий интеграл заданного уравнения.

С уважением.