Здравствуйте, Даша!

Рассмотрим следующую задачу: "Прядильно-ниточное предприятие выпускает нитки с лавсаном и нитки с капроном, для изготовления которых используется хлопок I сорта и II сорта. На изготовление 1 т ниток с лавсаном требуется 51 кг хлопка I сорта и 6 кг хлопка II сорта, на изготовление 1 т ниток с капроном требуется 10 кг хлопка I сорта и 115 кг хлопка II сорта. Запасы хлопка на предприятии составляют 285 кг хлопка I сорта и 375 кг хлопка II сорта. Прибыль от реализации 1 т ниток с лавсаном составляет 729 у. е., а от реализации 1 т ниток с капроном - 1395 у. е. Какой должен быть план производства, чтобы суммарная прибыль оказалась максимальной?"

1. Составим математическую модель этой задачи. В качестве переменных примем количества ниток в тоннах: x₁ - количество ниток с лавсаном, x₂ - количество ниток с капроном. Система ограничений будет отражать следующие условия:
- расход хлопка I сорта не должен превышать его запаса, т. е.

- расход хлопка II сорта не должен превышать его запаса, т. е.
- количества ниток должны быть неотрицательными, т. е.


Целевая функция отражает максимальную прибыль прядильно-ниточного предприятия:


Линейная функция (4), максимум которой требуется определить, вместе с неравенствами (1) - (3) образуют математическую модель рассмотренной задачи.

2. Составим задачу, двойственную к рассмотренной, приняв в качестве неизвестных величин условные цены на хлопок: y₁ - цена 1 кг хлопка I сорта, y₂ - цена 1 кг хлопка II сорта.

Как известно, если имеется (в матричной форме) задача линейного программирования



где f - целевая функция, (6) и (7) - ограничения, накладываемые на неё, то двойственной к ней задачей будет



Вектор Y = (y₁, y₂, ..., y_m), удовлетворяющий ограничению (9), назвается двойственным планом задачи (8) - (9).

В общем виде задачи записываются следующим образом:
- исходная задача




- двойственная к ней задача





При этом
1) если прямая задача решается на максимум, то двойственная к ней задача - на минимум и наоборот;
2) коэффициенты c_j целевой функции прямой задачи становятся свободными членами для ограничений двойственной задачи;
3) свободные члены b_i прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
4) матрица ограничений двойственной задачи является транспонированной по отношению к матрице ограничений прямой задачи;
5) если прямая задача решается на максимум, то её система ограничений представляется неравенствами вида "меньше или равно". Двойственная к ней задача решается на минимум, и её система ограничений имеет вид неравенств вида "больше или равно";
6) число ограничений прямой (исходной) задачи равно числу переменных двойственной задачи, а число органичений двойственной задачи - числу переменных прямой задачи.

Исходя из этого, запишем математическую модель двойственной задачи:





С уважением.