Здравствуйте, Посетитель - 369100!

1(б)
a_n = ((n³+4n⁵-7)/(7n²+5n⁵+8n))ⁿ
Воспользуемся радикальным признаком Коши:
lim_{n[$8594$][$8734$]}(a_n)^1/n =
= lim_{n[$8594$][$8734$]}(n³+4n⁵-7)/(7n²+5n⁵+8n) =
= lim_{n[$8594$][$8734$]}(4n⁵+n³-7)/(5n⁵+7n²+8n) =
= 4/5 < 1.
Ряд сходится.

1(в)
a_n = (-1)ⁿ⁺¹*3n/(n²+4)
Это знакочередующийся ряд.
1) Исследуем на условную сходимость с помощью признака Лейбница:
lim_{n[$8594$][$8734$]}|a_n| =
= lim_{n[$8594$][$8734$]}3n/(n²+4) =
= 0.
Ряд сходится.
2) Исследуем на абсолютную сходимость. Выясним, сходится ли ряд [$8721$]|a_n| = [$8721$]3n/(n²+4). Воспользуемся признаком сравнения; известно, что гармонический ряд [$8721$]1/n расходится.
lim_{n[$8594$][$8734$]}3n/(n²+4) : (1/n) =
= lim_{n[$8594$][$8734$]}3n²/(n²+4) =
= 3.
Ряд [$8721$]3n/(n²+4) расходится.
Ответ: ряд сходится условно.

Здравствуйте, Посетитель - 369100!

Рассмотрим задачу: "Разложить функцию y = x³ [$183$] cos x в ряд Маклорена".

Воспользуемся стандартным разложением
cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... + (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! + ... = [$8721$]_{n = 0}^[$8734$](-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! (-[$8734$] < x < +[$8734$]).

Тогда
y = x³ [$183$] [$8721$]_{n = 0}^[$8734$](-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! = [$8721$]_{n = 0}^[$8734$](-1)ⁿx^{2n + 3}/(2n)! (-[$8734$] < x < +[$8734$]) - искомое разложение.

С уважением.