Здравствуйте, G-buck!

1. Дивергенция векторного поля b = {P, Q, R} определяется выражением:



В данном случае





На поверхности параболоида x = -3(y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]) (расположенного вдоль оси Ox в отрицательном направлении) истоков и стоков нет, внутри - только стоки (div b < 0), снаружи - только источники (div b > 0).

2. Поток векторного поля b через поверхность [$963$] определяется выражением



Для замкнутой поверхности [$963$], ограничивающей тело T, можно воспользоваться формулой Остроградского:


В данном случае тело T представляет собой часть параболического цилиндра y = x[sup]2[/sup], ограниченную плоскостями y = 1, z = 0 и z = 1. Для него имеем





3. Ротор векторного поля b = {P, Q, R} определяется выражением:



В данном случае






4. Циркуляция векторного поля b = {P, Q, R} вдоль линии L определяется интегралом



В данном случае циркуляция равна



или, с учётом того, что на всём контуре L выполняется равенство z = 1 и dz = 0:



Контур L состоит из двух линий, поэтому искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из них.

Для отрезка BA имеем y = -x, dy = -dx, -[$8730$]2/2 [$8804$] x [$8804$] [$8730$]2/2 и




Для дуги окружности AmB имеем x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1, y [$8805$] -x. Будет удобно перейти к полярным координатам (x = r cos [$966$], y = r sin [$966$]). Тогда r = 1, -[$960$]/4 [$8804$] [$966$] [$8804$] 3[$960$]/4, x = cos [$966$], dx = -sin [$966$]d[$966$], y = sin [$966$], dy = cos [$966$]d[$966$] и





Отсюда циркуляция будет равна



По теореме Стокса, если контур L ограничивает поверхность S, то циркуляция векторного поля b вдоль контура равна потоку ротора этого поля через поверхность:



где n - вектор нормали к поверхности. В данном случае rot b = {-2, -4, -6} (он был найден в предыдущем задании), n = {0, 0, 1} (для контура L везде z=1, поэтому поверхность S перпендикулярна оси Oz) и



Данный интеграл (без множителя -6) численно равен площади поверхности S. В нашем случае она представляет собой половину круга радиуса 1, поэтому её площадь равна [$960$]/2, а интеграл будет равен



5. Из теоремы Стокса видно, что величина циркуляции векторного поля b вдоль контура L определяется величиной скалярного произведения ротора поля на нормаль к плоскости контура. В свою очередь, скалярное произведение определяется косинусом угла между векторами, поэтому циркуляция будет увеличиваться при уменьшении угла между rot b и нормалью n к плоскости контура L. Очевидно, наибольшее значение циркуляции будет достигнуто при rot b||n (когда косинус угла равен 1). Оно будет равно



В данном случае rot b = {-2, -4, -6}, |rot b| = [$8730$](-2)[sup]2[/sup]+(-4)[sup]2[/sup]+(-6)[sup]2[/sup] = [$8730$]56 = 2[$8730$]14, S = [$960$]/2 (как было установлено в предыдущем задании), поэтому наибольшее значение циркуляции для контура L будет равно 2[$8730$]14·[$960$]/2 = [$8730$]14[$960$].