Здравствуйте, G-buck!

Для однородной поверхности [$963$] (имеющей единичную плотность) координаты центра тяжести определяются выражениями:



где S - площадь поверхности [$963$], вычисляемая через интеграл



а S[sub]yz[/sub], S[sub]xz[/sub], S[sub]xy[/sub] - статические моменты, вычисляемые через интегралы



Для перехода от интеграла по поверхности к двойному интегралу воспользуемся тем, что для поверхности, заданной уравнением f(x, y, z) = 0,



где





В данном случае уравнение поверхности y=[$8730$]1-x[sup]2[/sup]-z[sup]2[/sup] можно записать в виде f(x,y,z) = x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]-1 = 0. Это уравнение сферы радиуса 1 с центром в начале координат. С учётом условий x[$8804$]0 и z[$8805$]0, поверхность будет частью сферы, лежащей в пятом и шестом октантах (то есть во второй четверти относительно Oxz). Соответственно, для функции f(x,y,z) будем иметь





и



С учётом этого для площади поверхности получаем



где D[sub]yz[/sub] - проекция поверхности [$963$] на плоскость Oyz, а переход к полярным координатам происходит по формулам r[sup]2[/sup] = y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup], tg [$966$] = z/y, dy dz = r dr d[$966$] (очевидно, что площадь сферы единичного радиуса равна 4[$960$], а наша поверхность составляет четверть этой сферы). Аналогично, для статических моментов имеем:




Отсюда x[sub]C[/sub] = -1/2, z[sub]C[/sub] = 1/2. Поскольку поверхность [$963$] симметрична относительно плоскости Oxz, её центр тяжести лежит на этой плоскости, то есть y[sub]C[/sub] = 0.

Итак, координаты центра тяжести поверхности - (-1/2, 0, 1/2).