Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
1.
y'=2√(1-x) - 2x*0.5*1/√(1-x) = 2√(1-x) - x/√(1-x) = (2-3x)/√(1-x)
y'>0 при х (-[$8734$]; 2/3] - здесь функция возрастает
y'<0 при х [2/3 ; 1) - здесь убывает
х=2/3 - максимум
3.
y'=0.5-cosx
0.5-cosx=0
cosx=0.5
x=+- pi/3 +2pik
на отрезке
x= pi/3
x=-pi/3
y(pi/3) = pi/6 - √3/2
y(-pi/3) = -pi/6 +√3/2
y(-pi/2) = -pi/4 +1
y(pi/2) = pi/4 -1
у наименьшее = pi/6 - √3/2
у наибольшее = -pi/6 +√3/2

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
Рассмотрим задачу 6.
Ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент при x² больше 0. Найдем координаты вершины параболы: x₀=-2-a/2, y₀=a²/4+2a+4-a²/2-2a-2a-8+2a+3=-a²/4-5. Это число при любых a будет меньше, чем -4. Значит если вершина параболы будет находиться на отрезке [0,2], то наименьшее значение функции будет меньше, чем -4. Другими словами, это расположение вершины параболы не удовлетворяет условию задачи. Вершина параболы находится на отрезке, если 0<=-2-a/2<=2 [$8658$] 2<=-a/2<=4 [$8658$] -8<=a<=-4.
Кстати, легко проверить, что дискриминант квадратного трехчлена всегда больше нуля, так, что вершина всегда лежит ниже оси x.
Итак, вершина параболы не должна находиться на отрезке [0,2]. Но тогда наименьшее значение этой функции может достигаться только на концах отрезка. Имеем:
y(0)=2a+3=-4 [$8658$] a=-3,5; y(2)=4+2a+8+2a+3=4a+15=-4 [$8658$] 4a=-19 [$8658$] a=-4,75.
Из двух значений a только a=-3,5 удовлетворяет условию a [$8713$] [-8, -4].
Ответ: a=-3,5.

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!

Рассмотрим функцию


Найдём производную этой функции:


Для нахождения критических точек функции приравняем производную нулю и решим полученное уравнение:



учитывая, что функция в рассматриваемом случае определена не на всей числовой прямой, а на отрезке [-[$960$]/2; [$960$]/2].

Найдём вторую производную рассматриваемой функции и её значения в критических точках:



значит, рассматриваемая функция имеет максимум в точке x₁ = -[$960$]/3, причём
,
и минимум в точке x₂ = [$960$]/3, причём


Найдём значения функции на концах отрезка:



Сопоставляя найденные значения, приходим к выводу, что наименьшее значение функции составляет y[sub]наим[/sub] = [$960$]/6 - [$8730$]3/2 [$8776$] -0,34, а наибольшее - y[sub]наиб[/sub] = [$960$]/6 + [$8730$]3/2 [$8776$] 1,39.

С уважением.

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
5) Пусть F(x)=f(x)-g(x)=4x³-15x²+24x-45
F(3)=108-135+72-45=0
F'(x)=12x²-30x+24
Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, следовательно, при всех x функция F'(x)>0.
Отсюда следует, что F(x) возрастает и поэтому при x>3 F(x)>F(3)=0, т.е. f(x)>g(x).

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
2.

Удачи

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
Рассмотрим задачу №4

Рассматриваем два треугольника. Самый большой треугольник и малый (малый это который получается на вверху, над прямоугольником).

Эти два треугольника - подобны, т.к один угол у них общий, а два других соответственно равны ( равны потому, как у прямоугольника напротив лежащие стороны параллельны, и пересекая прямую (сторону треугольника) пересекают под одним углом)

Обозначим сторону прямоугольника, что принадлежит основанию треугольника за Y, а другую сторону прямоугольника обзовем X

Тогда по подобию треугольников следует равенства.

(h-x) / y = h / a => y = ( a * ( h -x ) ) / h

Sпрямоугольника = x * y = x * ( a * ( h -x ) ) / h = ( -x²*a + a*h*x ) / h = -x²*a/h +a*x

Рассмотрим функцию S=-x²*a/h +a*x=0. Это парабола, ветви которой направлены вниз, соответственно вершина имеет макс. значение. Формула нахождения вершины параболы y=ax²+bx+c, x(0)-вершина, x(0)=-b/(2a).

Итак, x(0) = -a / ( 2*( -a/h ) ) = h/2

Подставим это значение вместо X

(-h²/4) * a/h + a * h/2 = (a*h)/2 - (a*h)/4 =a*h/4

ОТВЕТ: a*h / 4