Консультации Портала - Консультация #182852

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 182852

14.04.2011, 17:01

58.72 руб.

0 2 1

Образование

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислить длину дуг кривых:
а) y=1-lnSin(x^2-1)
3 ≤x ≤4

б) x=2(2Cost-Cos2t)
y=2(2Sint-sin2t)
0 ≤ t ≤п/3

в) ρ=8(1-Cosφ)
-2π/3 ≤φ≤0

Обсуждение

давно

Роман Селиверстов

Советник
341206
1201

14.04.2011, 17:53

общий

Методика вот-такая, но интеграл довольно непростой:
a)

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

14.04.2011, 20:56

общий

это ответ

Здравствуйте, Посетитель - 356254!

Рассмотрим задание б).

Пусть x = 2 [$149$] (2 [$149$] cos t - cos 2t), y = 2 [$149$] (2 [$149$] sin t - sin 2t). Тогда
x'(t) = 2 [$149$] (-2 [$149$] sin t + 2 [$149$] sin 2t) = 4 [$149$] (sin 2t - sin t) = 4 [$149$] 2 [$149$] cos (3t/2) [$149$] sin (t/2) = 8 [$149$] cos (3t/2) [$149$] sin (t/2) ,
y'(t) = 2 [$149$] (2 [$149$] cos t - 2 [$149$] cos 2t) = 4 [$149$] (cos t - cos 2t) = 4 [$149$] 2 [$149$] sin (3t/2) [$149$] sin (t/2) = 8 [$149$] sin (3t/2) [$149$] sin (t/2),
(x'(t))² = 64 [$149$] cos² (3t/2) [$149$] sin² (t/2),
(y'(t))² = 64 [$149$] sin² (3t/2) [$149$] sin² (t/2),
(x'(t))² + (y'(t))² = 64 [$149$] cos² (3t/2) [$149$] sin² (t/2) + 64 [$149$] sin² (3t/2) [$149$] sin² (t/2) = 64 [$149$] (sin² (3t/2) + cos² (3t/2)) [$149$] sin² (t/2) =
= 64 [$149$] sin² (t/2).

Находим дифференциал дуги:
dL = [$8730$]((x'(t))² + (y'(t))²) [$149$] dt = [$8730$](64 [$149$] sin² (t/2)) [$149$] dt = 8 [$149$] sin (t/2) [$149$] dt.

Находим неопределённый интеграл
[$8747$]sin (t/2) [$149$] dt = -2 [$149$] cos (t/2) + C.

Находим длину дуги:
L = ₀[$8747$]^[$960$]/3(8 [$149$] sin (t/2)) [$149$] dt = -8 [$149$] cos (t/2)|₀^[$960$]/3 = -8 [$149$] (cos ([$960$]/6) - cos 0) = -8 [$149$] (([$8730$]3)/2 - 1) = 8 - 4[$8730$]3 [$8776$] 1,072.

Ответ: 8 - 4[$8730$]3 [$8776$] 1,072.

Рассмотрим задание в).

Пусть [$961$] = 8 [$149$] (1 - cos [$966$]). Тогда
[$961$]' = 8 [$149$] (1 - cos [$966$])' = 8 [$149$] sin [$966$],
[$961$]² = 64 [$149$] (1 - 2 [$149$] cos [$966$] + cos² [$966$]),
([$961$]')² = 64 [$149$] sin² [$966$],
[$961$]² + ([$961$]')² = 64 [$149$] (1 - 2 [$149$] cos [$966$] + cos² [$966$]) + 64 [$149$] sin² [$966$] = 64 [$149$] (1 - 2 [$149$] cos [$966$]) + 64 [$149$] (cos² [$966$] + sin² [$966$]) = 64 [$149$] (2 - 2 [$149$] cos [$966$]) =
= 64 [$149$] (2 - 2 [$149$] (2 [$149$] cos² ([$966$]/2) - 1)) = 64 [$149$] (2 - 4 [$149$] cos² ([$966$]/2) + 2) = 64 [$149$] (4 - 4 [$149$] cos² ([$966$]/2) = 256 [$149$] (1 - cos² ([$966$]/2)) = 256 [$149$] sin² ([$966$]/2),
[$8730$]([$961$]² + ([$961$]')²) = [$8730$](256 [$149$] sin² ([$966$]/2)) = 16 [$149$] sin ([$966$]/2),
[$8747$]sin ([$966$]/2) [$149$] d[$966$] = [$8747$]sin ([$966$]/2) [$149$] d(2[$966$]/2) = 2 [$149$] [$8747$]sin ([$966$]/2) [$149$] d([$966$]/2) = -2 [$149$] cos ([$966$]/2) + C.

Находим длину L дуги кривой:
L = _-2[$960$]/3[$8747$]⁰(16 [$149$] sin ([$966$]/2)) [$149$] d[$966$] = _4[$960$]/3[$8747$]^2[$960$](16 [$149$] sin ([$966$]/2)) [$149$] d[$966$] = -32 [$149$] cos ([$966$]/2)|_4[$960$]/3^2[$960$] =
= -32 [$149$] (cos [$960$] - cos (2[$960$]/3)) = -32 [$149$] (-1 - (-0,5)) = -32 [$149$] (-0,5) = 16.

Ответ: 16.

С уважением.

Об авторе:
Facta loquuntur.

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.