Здравствуйте, Alejandro!
1. Мода - это наивероятнейшее число появлений события, которое определяется из неравенства:
np-q<=Mo<=np+p
20*0,5-0,5<=Mo<=20*0,5+0,5
9,5<=Mo<=10,5
Mo=10

Здравствуйте, Alejandro!

Рассмотрим вторую задачу.

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
f(x) = F'(x) = 4x + 3x².

При этом, однако, если существует такая неотрицательная функция f(x) [$8805$] 0, что F(x) = _-[$8734$][$8747$]^xf(t)dt, то говорят, что случайная величина X имеет плотность распределения f(x).

Найдём, промежуток неотрицательности функции f(x). Для этого решим уравнение 4x + 3x² = 0:
x(4 + 3x) = 0,
x₁ = -4/3, x₂ = 0.

При помощи подстановки можно убедиться, что функция f(x) неотрицательна при x [$8804$] -4/3 и при x [$8805$] 0. Вне этого промежутка плотность распределения следует считать равной нулю. При этих ограничениях функцию f(x) можно считать плотностью распределения случайной величины X.

Функцию f(x), следовательно, можно задать так:
f(x) = 0 при -4/3 < x < 0, f(x) = 4x + 3x² при x [$8804$] -4/3 или x [$8805$] 0.

Несобственный интеграл от -[$8734$] до +[$8734$] от плотности распределения должен быть равен 1. Так как
_-[$8734$][$8747$]⁰f(t)dt в нашем случае расходится,
₀[$8747$]^cf(t)dt = F(c) - F(0), или, в нашем случае,
₀[$8747$]^c(4x + 3x²)dx = (2x² + x³)|₀^c = 2c² + c³,
то это возможно только в том случае, если выполняется условие 2c² + c³ = 1, откуда находим
c³ + 2c² - 1 = 0,
c³ + c² + c² - 1 = 0,
c²(c + 1) + (c + 1)(c - 1) = 0,
(c² + c - 1)(c + 1) = 0,
c² + c - 1 = 0, D = 1² - 4 [$149$] 1 [$149$] (-1) = 5,
c₁ = (-1 - [$8730$]5)/2 - этот корень находится вне положительной полуоси,
c₂ = (-1 + [$8730$]5)/2;
c + 1 = 0,
c₃ = -1 - этот корень находится вне интервала неотрицательности функции f(x).

Значит, функция f(x) = 4x + 3x² задаёт плотность распределения случайной величины X
при 0 [$8804$] x [$8804$] (-1 + [$8730$]5)/2. Вне этого промежутка она должна быть равна нулю.

С уважением.