Здравствуйте, lamed!

1. В математике рассматриваются такие объекты, как числа, фигуры, множества. Они называются абстрактными, потому что эти понятия созданы человеческим разумом. В природе есть некие основания для выделения этих объектов. Важный философский вопрос - создан ли мир на основе этих абстрактных понятий, как считал, например, Платон, или это просто один из приспособлений Homo Sapiensa, выработанный в процессе развития мозга.
2. Для изучения объектов окружающей действительности используется метод создания моделей. Его суть в том, что мы выделяем существенное для нас в предмете, и описываем их количественно с использованием чисел, функций и уравнений. Например, уравнение падения тела не интересует, камень ли это или кошку выбросили с балкона.
Прежде чем говорить о математических моделях, полезно оглянуться назад и, хотя бы грубо, проследить путь, по которому шло развитие математики. Начнем издалека.
Едва ли можно указать точно время рождения математики. По-видимому, им можно считать тот день и час, когда наш далекий предок, недавно спустившийся с деревьев на землю, сообразил, что орех и еще один орех— это два ореха, одна палка и еще одна палка — это две палки и т. п. Вообще один предмет и еще один такой же предмет — это два предмета. Шаг этот по своей значительности колоссален. Действительно, вместо того чтобы говорить о конкретном орехе, он отвлекся от его специфических черт и ввел абстрактное понятие — один орех. Сразу же после этого могло возникнуть и первое правило сложения: один плюс один равно два. Конечно, введенная в те далекие времена операция сложения была далека от совершенства с нашей сегодняшней точки зрения.
Итак, что же такое математика? Есть множество определений этой науки. Пожалуй, наиболее удачное, хотя и наименее полезное, звучит так: «Математика — это то, чем занимаются математики». Более содержательно, хотя и все равно туманно, звучит такое определение: «Математика есть наука, занимающаяся построением и изучением абстрактных количественных моделей». Попытаемся разъяснить это определение.
Человеческая деятельность чрезвычайно многообразна, самым тесным образом с ней связана необходимость познания окружающего мира. Познание это идет в самых различных направлениях — тут и строение вещества, и законы движения, и законы передачи наследственной информации, и многое-многое другое. Каждая наука, а они выделены, конечно, для удобства, чтобы не увязнуть в бездне приобретенной информации да и чтобы удобнее было совершенствовать и разрабатывать методы, пригодные для изучения определенного круга явлений, ведает определенной областью знания. Таким образом, оказывается, что окружающий мир нами искусственно разбит на «грядки».
Что значит познать? Это значит суметь понять закономерности тех или иных явлений, процессов, изучаемых определенной наукой. Понять настолько, чтобы можно было бы создать модель изученного явления.
Но модель модели рознь! Например, если мы хотим изучить закон движения стрелы, выпущенной из лука, то моделью, в частности, может служить и картина, изображающаялетя щую стрелу. Другой вопрос, много ли от этой модели пользы?
Если мы хотим иметь возможность вычислять ско рость стрелы, путь, пройденный ею, и другие количественные характеристики, то картина нам мало поможет А вот количественная модель, обобщающая опыт, накопленный в наблюдениях над полетами многих стрел, позволяющая по некоторым заданным параметрам рассчитать все необходимые характеристики, — это то, что может нас удовлетворить.
Так вот, именно построением таких абстрактных количественных моделей реальных объектов разной природы и занимается математика. Причем, чем более совершенна та или иная наука, чем больше в ней накоплено фактического материала, тем более ценными оказываются создаваемые для нее математические модели.
Можно сказать и так. Математические модели для каждой науки растут и развиваются вместе с самой этой наукой. На первых порах они весьма простые, в дальнейшем же могут оказаться весьма сложными, так как этого будет требовать глубина изученных вопросов, многообразие явлений и т. п. (Сравните с рассказанной ранее историей об орехах, множестве чисел и введении операций над ними.)
Но было бы совершенно неправильно думать, что такими моделями математика и заканчивается. Если позволить себе весьма вольную, но полезную аналогию, то математику можно представить в виде многоэтажного здания. Первый этаж его как раз и образуют математические модели реальных явлений и процессов. Но ведь и сами модели могут служить объектом изучения! Так вот, во втором этаже здания «Математика» уже нет речи о реальных объектах, здесь изучаются абстрактные модели. Для подобного изучения нередко оказывается полезным введение новых понятий, разработка целых теорий. Возникает специальный язык, на котором говорят люди, исследующие модели (во время работы, конечно), и на котором они формулируют свои результаты.
Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель.
Для того, чтобы объяснить, как функционирует система кровообращения, лектор демонстрирует плакат, на котором стрелочками изображены направления движения крови. Это модель.
Перед тем как запустить в производство новый самолет, его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью соответствующих датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции. Это модель.
На стене висит картина, изображающая бушующее море. Это модель.
Перечислять примеры моделей можно сколь угодно долго, не будем этого делать, а попытаемся понять, какова роль их в уже приведенных примерах.
Конечно, архитектор мог бы построить здание без предварительных экспериментов с кубиками. Но... он не уверен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо. Если оно окажется некрасивым, то многие годы потом оно будет немым укором своему создателю, лучше уж поэкспериментировать с кубиками.
Конечно, лектор мог бы для демонстрации воспользо ваться подробным анатомическим атласом. Но ... эта подробность ему совершенно не нужна при изучении системы кровообращения. Более того, она мешает изучению, т. к. мешает вниманию сосредоточиться на главном. Лучше уж воспользоваться плакатом.
Конечно, можно запустить самолет в производство и не зная, какие напряжения возникают, скажем, в крыльях. Но... эти напряжения, если они окажутся достаточно большими, вполне могут привести к разрушению самолета. Лучше уж сначала исследовать самолет в трубе.
Конечно, богатейшие эмоциональные впечатления можно получить стоя на берегу бушующего моря. Но ... если вы вдали от моря или на море штиль, или речь идет о передаче этих впечатлений человеку, который вообще даже не видел моря. Лучше уж посмотреть на картину, изображающую море.
Во всех перечисленных примерах имеет место сопоставление некоторого объекта с другим, его заменяющим: реальное здание — здание из кубиков; серийный самолет— единичный самолет в трубе; система кровообращения — схема на плакате; бушующее море — картина, его изображающая. Причем во всех случаях предполагается, что какое-то свойство (свойства) сохраняется при переходе от исходного объекта к заменяющему или по крайней мере позволяет судить об исходном свойстве.
Хоть здание из кубиков и много меньше настоящего, но оно позволяет судить о внешнем виде его.
Хоть плакат и не имеет ничего общего с тканями и системами живого организма, но он позволяет судить о том, откуда и куда течет кровь.
Хоть самолет, находящийся в аэродинамической трубе, и не летит, но напряжения, возникающие в его корпусе, соответствуют условиям полета.
Хоть картина и море с физической точки зрения не имеют, казалось бы, ничего общего, но эмоции они могут вызвать сходные.
После всего сказанного становится понятным такое определение.
Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.
С незапамятных времен при изучении сложных процессов, явлений, конструировании новых сооружений и т. п. человек применяет модели. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, нежели реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом: недопустимы, например, эксперименты с экономикой страны в познавательных целях; принципиально неосуществимы эксперименты с прошлым или, окажем, с планетами Солнечной системы и т. п.
Другое не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта, поскольку сама модель отражает лишь некоторые основные характеристики исходного объекта.
Модель позволяет также научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта. Экспериментировать в этих целях с реальным объектом в лучшем случае бывает неудобно, а зачастую просто вредно или вообще невозможно в силу ряда причин (большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в нежелательное и необратимое состояние и т. п.).
Если объект исследования обладает динамическими характеристиками, т. е. характеристиками, зависящими от времени, особое значение приобретает задача прогнозирования динамики состояния такого объекта под действием различных факторов. При ее решении использование моделей также может оказать неоценимую помощь.
Итак, резюмируя, можно сказать, что модель нужна:
1) для того чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;
2) для того чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;
3) для того чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.
Хорошо построенная модель, как правило, обладает удивительным свойством: ее изучение дает некоторые новые знания об объекте — оригинале. Это, безусловно, очень важное свойство, играющее притягательную роль для лиц, занимающихся изучением моделей.
деальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое.
Под интуитивным понимаем моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира.
Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т. д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами.
Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики, и использованием тех или иных математических методов. Классическим примером математического моделирования является описание и исследование основных законов механики И. Ньютона средствами математики.

Здравствуйте, lamed!

1. Об абстрактных объектах в математике:

URL >>
URL >>
URL >>

2. Какой математический метод используется для изучения объектов окружающей действительности? В чем его суть?

Мне кажется, речь идет о методе математического моделирования:
[url=http://www.ict.nsc.ru/ru/MatMod/1.pdf ]URL >>[/url]
URL >>
URL >>
URL >>


3. Перечислите положительные и отрицательные свойства использования математических моделей для изучения объектов реального мира

Следует отметить некоторые преимущества и недостатки применения математических моделей.

Преимущества математических моделей состоят в том, что они точны и абстрактны, передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку позволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнивать с реальными данными. Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения.

Недостатки математических моделей заключаются часто в сложности математического аппарата. Возникают трудности перевода результатов с языка математики на язык реальной жизни. Пожалуй, самый большой недостаток математической модели связан с тем искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а также с теми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться от модели, оказавшейся неперспективной. Математическое моделирование настолько увлекательное занятие, что "модельеру" очень легко отойти от реальности и увлечься применением математических языков к абстрактным явлениям. Именно поэтому следует помнить, что моделирование в прикладной математике - лишь один из этапов широкой стратегии исследования.

См. также:
URL >>
URL >>


4. Приведите примеры использования метода математического моделирования в различных сферах человеческой деятельности.

В экономике -
URL >>

В механике:
URL >>
см.: раздел 4. Примеры математических моделей. п. 1) Задачи о движении снаряда.

В физике:
URL >>
см.: раздел 6. Моделирование физических систем и процессов

В биологии и экологии:
URL >>
см.: раздел 7. Моделирование экологических систем и процессов

В химии:
URL >>
см.: раздел 4. Примеры математических моделей. п. 6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

В социологии:
URL >>
URL >>

Подробнее см.:
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - М., 2001.
URL >>