Здравствуйте, Иван Зиновьев!
Умножив уравнение для координаты х на 5, получим, что y=5x, то есть точка движется по прямой.
При t=0 x=y=0 (движение начинается в начале координат)
Начальное движение точки в сторону убывания абсциссы и ординаты.
При t=1,5 (производная от х по t равна 0) точка остановится и начнет двигаться в противоположном направлении.
В момент времени 1с координаты точки будут (-2, -10).
Проекции вектора скорости на оси координат:


При t=1:

Проекции вектора ускорения на оси координат:



Радиус кривизны:

Здравствуйте, Иван Зиновьев!

Пусть x = t² - 3t, y = 5t² - 15t. Тогда y/x = (5t² - 15t)/(t² - 3t) = 5(t² - 3t)/(t² - 3t) = 5, y = 5x. Следовательно, траекторией точки является прямая линия, уравнение которой у = 5x.

Найдём горизонтальные составляющие скорости и ускорения:
v_x = dx/dt = 2t - 3,
a_x = dv_x/dt = 2.

Найдём вертикальные составляющие скорости и ускорения:
v_y = dy/dt = 10t - 15,
a_y = dv_y/dt = 10.

Найдём скорость и ускорение:
v = [$8730$](v_x² + v_y²) = [$8730$]((2t - 3)² + (10t - 15)²) = [$8730$](4t² - 12t + 9 + 100t² - 300t + 225) = [$8730$](104t² - 312t + 234),
a = [$8730$](a_x² + a_y²) = [$8730$](2² + (10)²) = [$8730$]104;
при t = 1 с
v(1) = [$8730$](104 - 312 + 234) = [$8730$]26 ≈ 5,1 (м/с),
a(1) = a = [$8730$]104 ≈ 10,2 (м/с²).

Найдём касательное ускорение:
a_к = dv/dt = ((104t² - 312t + 234)^1/2)'_t = 1/2 ∙ (104t² - 312t + 234)^-1/2 ∙ (208t - 312);
при t = 1 с
a_к(1) = 1/2 ∙ (104 - 312 + 234)^-1/2 ∙ (208 - 312) ≈ -10,2 (м/с²).

Найдём нормальное ускорение:
a_н = [$8730$](a² - a_к²) = [$8730$](104 - 1/4 ∙ (104t² - 312t + 234)^-1 ∙ (208t - 312)²);
при t = 1 с
a_н(1) = [$8730$](104 - 1/4 ∙ (104 - 312 + 234)^-1 ∙ (208 - 312)²) = 0 (м/с²).

Поскольку траекторией является прямая, то её кривизна равна нулю, а радиус кривизны бесконечно велик в любой момент времени t.

Построение траектории - прямой y = 5x - труда не составляет (как учили в школе, по двум точкам). Уточняя характер траектории, заметим, что обе составляющие вектора скорости в любой момент времени принимают значения одного знака, а значит, и нулевое значение. Приравняв нулю, напрмер, горизонтальную сотавляющую скорости: 2t - 3 = 0, получим, что при t = 3/2 = 1,5 (с) скорость равна нулю, и направление движения меняется на противоположное. Значит, точка с координатами x = (1,5)² - 3 ∙ 1,5 = -2,25 (м), y = 5x = 5 ∙ (-2,25) = -11,25 (м) является крайней левой и крайней нижней точкой траектории. Следовательно, траекторией является часть прямой y = 5x, расположенная правее этой точки, включая её саму.

При t = 1 с x = 1 - 3 = -2 (м), y = 5 - 15 = -10 (м). Все указанные в задании векторы, характеризующие скорость и ускорение при t = 1 с, следует приложить в точке A с координатами (-2, -10). Затем следует выбрать масштабы для изображения векторов скоростей и ускорений. После этого в отрицательном направлении оси абсцисс от точки A отложить вектор v[sub]x[/sub] длиной 1 м/с и в отрицательном направлении оси ординат вектор v[sub]y[/sub] длиной 5 м/с. Вектор v определится как геометрическая сумма векторов v[sub]x[/sub] и v[sub]y[/sub] (как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - векторы v[sub]x[/sub] и v[sub]y[/sub]). Затем в положительном направлении оси абсцисс от точки A следует отложить вектор a[sub]x[/sub] длиной 2 м/с², а в положительном направлении оси ординат - вектор a[sub]y[/sub] длиной 10 м/с². Вектор a определится как геометрическая сумма векторов a[sub]x[/sub] и a[sub]y[/sub]. Проекция вектора a на траекторию является вектором касательного ускорения. При t = 1 с векторы касательного и полного ускорения совпадают, а векторы полного и касательного ускорений оказываются направленными противоположно вектору скорости.

С уважением.

Здравствуйте, Иван Зиновьев!
Дано:
x=t²-3t м
y=5t² - 15t м
t ₁ = 1 c
t
Решение: 1) Скорости точки:

V_x = = 2t – 3 = -1 (м/с)
V_y = = 10t – 15 = -5 (м/с)


2) Модуль скорости:

3) Ускорения точки:



4) Модуль полного ускорения:


5) Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство

Получим

откуда


6) Нормальное ускорение

6) Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:
, т.е это означает что траектория точка или прямая
8) Найдем уравнение траектории точки. Для определения уравнения траектории исключим из уравнений движения время t:
x=t²-3t
y=5t² - 15t, разделим на 5
получим:
x=t²-3t
y=t² - 3t
Справедливо можно заметить что правые части уравнений равны, следовательно можем прировнять левые части
x=y/5
y=5x
(и для общего сведения)
Область определения функции y=5x:

пересечение с осью абсцисс (OX):
5x=0 => x=0
Пересечение с осью ординат (OY):
x=0, f(x) = 0
Поведение функции на бесконечности:


Наклонная асимптота функции:
y=5x
Исследование функции на четность/нечетность:
f(x)=5x
f(-x)=-5x
Функция является нечетной
Функция возрастает на:
всей области определения