Здравствуйте, Посетитель - 364448!
Данное уравнение - линейное (с постоянными коэффициентами) со специальной правой частью. Его общее решение состоит из суммы общего решения y0 однородного уравнения (y''-3y'=0) и частного решения данного неоднородного уравнения. Для нахождения общего решения уравнения составим характеристическое уравнение: r^2-3r=0, корни которого равны r1=0, r2=3. Значит общее решение будет иметь вид:
y0=C1+C2*exp(3*x).
Частное решение неоднородного уравнения yn ищем в виде: yn=A*cos2x+B*sin2x. Находим первую и вторую производные:
yn'=-2*A*sin2x+2*B*cos2x, yn''=-4*A*cos2x-4*B*sin2x и подставим в исходное уравнение. Получим:
(-4*A-6*B)cos2x+(-4*B+6*A)sin2x=cos2x; отсюда получим систему уравнений для определения A и B: -4*A-6*B=1; -4*B+6*A=0. Из второго уравнения получим B=3*A/2 и подставим в первое уравнение. Получим A=-1/13; тогда B=-3/26. Значит общее решение нашего (исходного) уравнения будет:
y=C1+C2*exp(3*x)-(cos2x)/13-(3*sin2x)/26. Отсюда y'=3*C2*exp(3*x)+(2*sin2x)/13-(6*cos2x)/26.
Используем условия Коши. 3=С1+С2-1/13; 1=3*C2-3/13. Из второго уравнения C2=16/39, а из первого условия, теперь получим С1=8/3.
Итак, y=8/3+16*exp(3*x)/39-(cos2x)/13-(3*sin2x)/26.
Сделаем проверку. Найдем y'=16*exp(3*x)/13+(2*sin2x)/13-(3*cos2x)/13; y''=48*exp(3*x)/13+(4*cos2x)/13+(6*sin2x)/13.
Подставим в уравнение: [s]48*exp(3*x)/13[/s]+(4*cos2x)/13+[s](6*sin2x)/13[/s]-[s]48*exp(3*x)/13[/s]-[s](6*sin2x)/13[/s]+(9*cos2x)/13=cos2x.

Ответ: y=8/3+16*exp(3*x)/39-(cos2x)/13-(3*sin2x)/26.

Здравствуйте, Посетитель - 364448!

Сначала решим однородное уравнение y"-3y'=0. Оно не содержит y, поэтому можно сделать замену y'=z, y"=z'. Тогда уравнение примет вид:







Теперь производим обратную замену:




Наконец, решаем неоднородное уравнение методом вариации постоянных. Для этого представляем решение однородного уравнения в виде



и находим C[sub]1[/sub](x), C[sub]2[/sub](x), решая систему





Тогда общее решение будет иметь вид:



Частное решение находим, используя начальные условия:








Итак, частным решением будет



Проверка: