Здравствуйте, Magma!
2)

Здравствуйте, Magma!
1) замена y²=z дает уравнение
x²z'+z=2
dz/(z-2)=-dx/x²
ln|z-2|=1/x+const
z-2=Ce^1/x
z=2+Ce^1/x

y=[$8730$](2+Ce^1/x)
y=-[$8730$](2+Ce^1/x)

Здравствуйте, Magma!

4. (x^2-1)y'+2xy^2=0

y'= -2*x*y²/(x²-1)

dy/dx= -2*x*y²/(x²-1)

- dy/y²= 2*x*dx/(x²-1)

1/y=ln(x²-1) +C, C - const

y=1/(ln(x[sup]2[/sup]-1) +C), C - const)

Здравствуйте, Magma!

Рассмотрим третье уравнение. Проверим, является ли оно однородным. Имеем
dy/dx – xy² = 2xy,
dy/dx – xy² – 2xy = 0,
dy – (xy² + 2xy)dx = 0,
dy – xy(y + 2)dx = 0,
-xydx + dy/(y + 2) = 0,
P(x, y) = -xy, P(kx, ky) = -k²xy = k²P(x, y),
Q(x, y) = 1/(y + 2), Q(kx, ky) = 1/(ky + 2) ≠ k²Q(x, y).
Следовательно, заданное уравнение не является однородным.

Заданное уравнение можно, однако, решить следующим образом:
-xydx + dy/(y + 2) = 0,
-xydx = -dy/(y + 2),
xdx = dy/(y(y + 2)) – получили уравнение с разделёнными переменными,
1/(y(y + 2)) = 1/2 ∙ (y + 2 – y)/(y(y + 2)) = 1/(2y) – 1/(2(y + 2)),
∫dy/(y(y + 2)) = 1/2 ∙ ∫dy/y – 1/2 ∙ ∫dy/(y + 2) = 1/2 ∙ (ln |y/(y + 2)| + ln |C|),
x²/2 = 1/2 ∙ (ln |y/(y + 2)| + ln |C*|),
x² = ln |y/(y + 2)| + ln |C|,
Cy/(y + 2) = exp(x²),
(y + 2)/y = C ∙ exp(-x²),
1 + 2/y = C ∙ exp(-x²),
2/y = C ∙ exp(-x²) – 1,
y = 2/(C ∙ exp(-x²) – 1).

Ответ: y = 2/(C ∙ exp(-x[sup]2[/sup]) – 1).

С уважением.