Здравствуйте, Игорь Алексеевич!

Дано: m = 2 кг, v₀ = 10 м/с, α = 45º.
Определить: K_min.

Решение.

В начальный момент движения тело обладает минимальной потенциальной энергией П_min= П₀ = 0 (поверхность Земли принимаем за начало отсчёта потенциальной энергии) и максимальной кинетической энергией K_max = K₀ = mv₀²/2, а в вершине траектории, наоборот, потенциальная энергия максимальна: П_max = П_h = mgh (h – высота подъёма тела), а кинетическая – минимальна: K_h = K_min. Согласно закону сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий тела во время полёта постоянна. Поэтому
K₀ + П₀ = K_h + П_h,
K_h = K_min = K₀ + П₀ – П_h = mv₀²/2 + 0 – mgh = m(v₀²/2 – gh).

Вертикальное перемещение y тела в момент времени t определяется по формуле
y = v₀t • sin α – gt²/2,
а вертикальная составляющая v_y скорости v – по формуле
v_y = v₀ • sin α – gt.
В вершине траектории (при y = h) v_y = 0, v₀ • sin α – gt = 0, следовательно, тело достигает вершины траектории через время t = (v₀ • sin α)/g, а высота полёта тела находится следующим образом:
h = v₀ • (v₀ • sin α) • (sin α)/g – g((v₀ • sin α)/g)²/2 = (v₀ • sin α)²/(2g).

Значит,
K_min = m(v₀²/2 – g(v₀ • sin α)²/(2g)) = m(v₀²/2 – (v₀² • sin² α)/2) = (mv₀²/2)(1 – sin² α) = (mv₀²/2)cos² α,
что после вычислений даёт
K_min = (2 • (10)²/2) • (1/√2)² = 50 (Дж).

Ответ: 50 Дж.

С уважением.